Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы (Рывкин, Ваховский) - страница 9

1.17. Докажите, что если длины сторон треугольника образуют арифметическую прогрессию, то центр окружности, вписанной в этот треугольник, и точка пересечения его медиан лежат на прямой, параллельной средней по длине стороне треугольника.

1.18. В треугольнике ABC радиус вписанной окружности равен r, сторона BC больше r в k раз, а высота, опущенная на эту сторону, больше r в 4 раза. Найдите полупериметр p, tg ^>A/_>2 и стороны b и c.

1.19. Углы С, A, В треугольника ABC образуют геометрическую прогрессию со знаменателем 2. Пусть O — центр окружности, вписанной в треугольник ABC, K — центр вневписанной окружности, касающейся стороны AC, L — центр вневписанной окружности, касающейся стороны BC. Докажите, что треугольники ABC и OKL подобны.

1.20. В треугольнике ABC углы A, В и С образуют геометрическую прогрессию со знаменателем 2. Докажите, что

1.21. Докажите, что если P, Q, R — соответственно точки пересечения каждой из сторон BC, CA, AB (или их продолжений) треугольника ABC с некоторой прямой, то

(теорема Менелая).

1.22. Точка D находится на стороне BC треугольника ABC. Докажите, что

AB² · DC + AC² · BD − AD² · BC = BC · DC · BD

(теорема Стюарта).

1.23. На сторонах треугольника ABC взяты точки P, Q и R так, что три прямые AP, BQ и CR пересекаются в одной точке. Докажите, что

(теорема Чевы).

1.24. Через произвольную точку O, взятую внутри треугольника ABC, проведены прямые DE, FK, MN, параллельные соответственно AB, AC, BC, причем F и M лежат на AB, E и K — на BC, N и D — на AC. Докажите, что

1.25. Через центр O правильного треугольника ABC проведена произвольная прямая. Докажите, что сумма квадратов расстояний от вершин треугольника до этой прямой не зависит от выбора прямой.

1.26. Вокруг треугольника ABC, в котором а = 2, b = 3 и угол C = 60°, описана окружность. Определите радиусы окружностей, проходящих через две вершины треугольника и центр описанной окружности.

1.27. Стороны треугольника связаны соотношением а² = c(b + с). Докажите, что угол A вдвое больше угла C.

1.28. Пусть O — центр окружности, вписанной в треугольник ABC. Докажите, что если OA² = OB · OC, то

1.29. Площадь , треугольника ABC удовлетворяет соотношению S = а² − (b − с)². Найдите угол A.

1.30. На сторонах треугольника внешним образом построены квадраты. Докажите, что расстояние между центрами квадратов, построенных на боковых сторонах, равно расстоянию от центра квадрата, построенного на основании, до противоположной вершины треугольника.

1.31. В треугольнике ABC единичной площади проведен отрезок AD, пересекающий медиану