Наконец, в-третьих, следует отметить, что не нужно начинать занятия с исследования трудных вещей, но, прежде чем приступить к разрешению каких-либо определенных вопросов, сначала надлежит без всякого разбора собрать обнаруживающиеся сами собой истины и затем постепенно рассмотреть, можно ли вывести из них какие-либо другие, а из последних — опять-таки другие, и далее в той же последовательности. Потом, сделав это, необходимо внимательно поразмыслить над открытыми истинами и тщательно обдумать, почему мы смогли отыскать одни из них скорее и легче, чем другие, и каковы они, чтобы, исходя из этого, мы также могли, когда займемся каким-либо определенным вопросом, решить, к отысканию каких других истин полезно приступить прежде всего.
Например, если бы мне представилось, что число 6 есть удвоенное 3, я искал бы затем удвоенное 6, а именно 12, и снова искал бы, если угодно, удвоенное 12, а именно 24, и удвоенное 24, а именно 48, и т. д.; и отсюда я, как это нетрудно сделать, вывел бы, что между 3 и 6 существует та же самая пропорция, которая существует между 6 и 12, а также между 12 и 24 и т. д., и ввиду этого числа 3, 6, 12, 24, 48 и т. д. являются непрерывно пропорциональными. Потому-то, хотя бы все это было настолько очевидным, что показалось бы чуть ли не ребяческим, я, внимательно поразмыслив, конечно, понимаю, каким образом запутываются все вопросы, которые могут быть поставлены касательно пропорций или отношений вещей, и в каком порядке они должны быть исследованы; в одном этом заключается свод всей чисто математической науки.
Действительно, я замечаю, во-первых, что удвоенное б найти было не труднее, чем удвоенное 3, и равным образом во всех случаях, когда найдена пропорция между двумя какими бы то ни было величинами, можно допустить бесчисленное множество других величин, между которыми была бы та же самая пропорция, и что природа затруднения не изменилась бы, если бы отыскивались три, или четыре, или большее число величин подобного рода, так как, разумеется, следует искать каждую из них в отдельности, не принимая в расчет прочие. Затем я замечаю, что, хотя для данных величин 3 и 6 я легко нашел бы третью в непрерывной пропорции, а именно 12, тем не менее для двух данных крайних величин, а именно 3 и 12, не так легко можно найти среднюю, а именно 6; для рассматривающего причину этого очевидно, что здесь налицо иной род затруднения, совершенно отличный от предшествующего, так как для того, чтобы найти среднее пропорциональное, следует одновременно обращать внимание на две крайние величины и на пропорцию, которая существует между этими двумя, с тем чтобы путем ее деления получить некую новую величину; это действие весьма отлично от того, которое, если даны две величины, требуется для нахождения третьей в непрерывной пропорции. Я иду еще дальше и исследую, одинаково ли легко для данных величин 3 и 24 можно было бы найти одну из двух средних пропорциональных, а именно 6 и 12; и здесь встречается еще один род затруднения, более запутанный, чем предыдущие, ибо здесь следует одновременно обращать внимание не только на один или на два, а на три различных члена, чтобы найти четвертый. Можно пойти еще дальше и рассмотреть, было ли бы еще труднее, если даны только 3 и 48, найти одно из трех средних пропорциональных, т. е. 6, 12 и 24; на первый взгляд кажется, что это именно так. Но потом сразу же оказывается, что это затруднение можно расчленить и уменьшить, а именно если сначала отыскивать лишь одно среднее пропорциональное — между 3 и 48, т. е. 12, а потом отыскивать другое среднее пропорциональное — между 3 и 12, а именно 6, и другое — между 12 и 48, а именно 24, и, таким образом, это затруднение можно свести ко второму, ранее описанному роду затруднения.