Нетрудно составить и таблицу умножения («Пифагорову») для пятиричной системы:
Имея эту табличку перед глазами, вы опять-таки можете облегчить себе труд умножения (и деления) чисел в пятиричной системе, как легко убедиться, применив ее к приведенным выше примерам. Например, при умножении
рассуждаем так: трижды три «14» (из таблицы); 4 пишем, 1 – в уме. Один на 3 = 3, да еще один, – пишем 4. Дважды три = «11»; 1 – пишем, 1 – переносим влево. Получаем в результате «1144».
Чем меньше основание системы, тем меньше и соответствующие таблицы сложения и умножения. Например, для троичной системы обе таблицы таковы:
Их можно было бы сразу же запомнить и пользоваться ими для выполнения действий. Самые маленькие таблицы сложения и вычитания получаются для двоичной системы:
При помощи таких-то простых «таблиц» можно выполнять в двоичной системе все четыре действия! Умножения в этой системе, в сущности, как бы вовсе нет: ведь умножить на единицу значит оставить число без изменения, а умножение на «10», «100», «1000» и т. п. сводится к простому приписыванию справа соответствующего числа нулей. Что же касается сложения, то для выполнения его нужно помнить только одно – что в двоичной системе 1 + 1 = 10. Не правда ли, мы с полным основанием назвали раньше двоичную систему самой простой из всех возможных? Длина чисел этой своеобразной арифметики искупается простотой выполнения над ними всех арифметических действий. Пусть, например, требуется умножить:
Выполнение действия сводится только к переписыванию данных чисел в надлежащем расположении: это требует несравненно меньше умственных усилий, чем умножение тех же чисел в десятичной системе (605 × 37 = 22385). Если бы у нас была принята двоичная система, изучение письменного счисления требовало бы наименьшего умственного напряжения (зато – больше бумаги и чернил). Но в устном счете двоичная арифметика по удобству выполнения действий значительно уступает нашей десятичной.
Не видя числа, трудно, конечно, угадать, какое оно – четное или нечетное. Но не думайте, что вы всегда сможете сказать это, едва увидите задаваемое число. Скажите, например: четное или нечетное число 16?
Если вам известно, что оно написано по десятичной системе, то, без сомнения, можно утверждать, что это число четное. Но когда оно написано по какой-либо другой системе – то можно ли быть уверенным, что оно изображает непременно четное число?
Оказывается, нет. Если основание, например, семь, то «16» означает 7 + 6=13, число нечетное. То же будет и для всякого нечетного основания (потому что всякое нечетное число + 6 = нечетному числу).