В качестве завершения темы снова вернусь в 1950-е годы. Посетителя офиса на Большой Калужской мне довелось увидеть ещё один раз. Это произошло на третьем этаже дома 9 по Моховой улице, в канцелярии механико-математического факультета Московского университета, где я тогда учился. Всё с той же скрипкой в авоське он вошёл в канцелярию, попросил лист бумаги и, примостившись у стола, стал писать. Не в силах сдержать любопытства, я заглянул ему через плечо. Каллиграфическим почерком выводились буквы: «…бывшего студента ‹…› Императорского университета прошение…» (какого именно университета — не помню). Затем он попросил указать ему специалиста по теории чисел. В качестве такового ему был назван заведующий кафедрой теории чисел член-корреспондент Гельфонд. В это время по коридору шёл член-корреспондент Гельфанд, к теории чисел отношения не имеющий. Услышав его фамилию, бывший студент Императорского университета бросился к нему навстречу. Всем было известно, что Гельфанд — математик великий, но непредсказуемый и легко может нахамить. Я не стал дожидаться столкновения двух тел и в страхе убежал.
Глава 3. Проблемы нерешённые и проблемы нерешимые
Проблема — это всегда требование что-то найти, указать. Это «что-то» может иметь самую различную природу: это может быть ответ на заданный вопрос, законопроект, доказательство теоремы, число (при решении уравнений), последовательность геометрических построений (при решении геометрических задач на построение). Опыт математики позволяет провести точную грань между проблемами нерешёнными и проблемами нерешимыми. Первые ждут своего решения, вторые же решения не имеют и иметь не могут, у них решения просто-напросто не существует.
К числу первых долгое время относилась проблема Ферма. В математике таких проблем много, но абсолютное большинство из них требует для понимания их формулировок специального образования. Нерешённых проблем с простыми формулировками гораздо меньше. Из них наиболее известны, пожалуй, следующие четыре проблемы теории чисел. Теория чисел (в ортодоксальном понимании этого термина) занимается только положительными целыми числами. Поэтому только такие числа разумеются здесь под словом «число».
Две проблемы о совершенных числах. Число 6 делится на 1, на 2, на 3 и на 6 — эти числа 1, 2, 3, 6 суть делители числа 6. Если из списка делителей числа 6 мы удалим само это число, а остальные сложим, получим 6. Действительно, 1 + 2 + 3 = 6. Тем же свойством обладает число 28. Его делителями служат числа 1, 2, 4, 7, 14, 28. Если их все, кроме 28, сложить, получим как раз 28: действительно, 1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28. В VI веке до н. э. это редкое свойство чисел вызывало мистический восторг у Пифагора и его учеников: по их мнению, оно свидетельствовало об особом совершенстве числа, обладающего таким свойством. А потому каждое число, совпадающее с суммой своих делителей, отличных от самого этого числа, получило титул