(«Бог создал целые числа, всё остальное есть дело рук человеческих»). Возможно, более точным переводом немецкого слова «ganzen» было бы здесь русское слово «натуральные» — потому что не вызывает сомнений, что Кронекер имел в виду не все целые, а именно
натуральные числа (из которых уже путём сознательной человеческой деятельности строятся отрицательные целые числа). Согласие с божественным происхождением натуральных чисел ещё не означает торжества креационизма. Потому что ничто не мешает считать, что натуральные числа появились в процессе исторической эволюции, оставляя при этом в стороне вопрос, управляется ли эволюция Господом Богом или происходит сама по себе. Став на эту точку зрения, приходим к выводу, что натуральные числа родились в процессах пересчитывания предметов, а также (и, надо полагать, позже) в процессах определения количества предметов. Это разные процессы, и они, с философской точки зрения, приводят к различным (хотя и соотнесённым друг с другом) системам натуральных чисел. Не знаю, как другие языки, но русский язык демонстрирует это различие достаточно наглядно. Пересчёт мы начинаем обычно со слова «раз», а наименьшее возможное количество чего-нибудь есть ноль. Таким образом, наименьшее
количественное число есть число ноль, а наименьшее
считательное число есть число раз (один, единица). Некоторые поэтому начинают
натуральный ряд, то есть ряд натуральных чисел, с нуля, другие же — с единицы.
Упоминавшийся уже Дедекинд называл числа свободными творениями человеческого духа (а книга Дедекинда, в которой была провозглашена эта формула, сама имела примечательное название: «Was sind und was sollen die Zahlen» — «Что такое числа и каково их назначение»). Для понимания сущности чисел важно помнить, что число есть понятие абстрактное. Никакое число, даже число, скажем, два, нельзя ни увидеть, ни услышать. Увидеть можно два стола или двух слонов, а услышать можно слово «два» — но это совсем другое дело. Полезно отметить, что абстрактность понятий не есть отличительная (и потому многих пугающая) черта математики. Если вдуматься, то, скажем, такие физические понятия, как электрон, протон и т. п., весьма абстрактны. На память приходит вопрос, заданный на знаменитом семинаре Гельфанда, действовавшем на механико-математическом факультете Московского университета, одним из участников семинара: «Какой реальный математический смысл имеет эта физическая абстракция?»
Вернёмся, однако, к проблемам, не имеющим решения.