В 1930 году чешский логик Курт Гёдель доказал теорему, сегодня известную как теорема Гёделя о неполноте, которая навсегда изменила понимание математики. По сути, теорема Гёделя утверждает, что если пользоваться точными и достоверными методами рассуждений, методами, исключающими ошибки, то неизбежно будут существовать математические проблемы, которые никогда нельзя будет решить. Всегда найдутся задачи, решение которых будет не под силу этим методам.
До того как Гёдель доказал свою теорему, математики безгранично верили в то, что при достаточном количестве времени, терпения и усилий любая поставленная проблема может быть решена. Например, немецкий математик Давид Гильберт, представивший на Втором Международном математическом конгрессе в Париже в 1900 году знаменитый список из 23 проблем, в своем выдающемся докладе предположил, что эти проблемы определят значительную часть математических исследований в течение XX века.
Проблемы Гильберта очень сложны, и было ясно, что для нахождения решений потребуются десятки лет, что в будущем и подтвердилось. Например, ответ на десятую проблему (в современных терминах: может ли определенный тип уравнений, называемых диофантовыми, всегда быть решен с помощью компьютера?) был найден только в 1970 году. Восьмая про-
блема, известная как гипотеза Римана, не решена и сегодня. Однако ни Гильберт, ни кто-либо из его коллег в далеком 1900 году не сомневались, что рано или поздно будут найдены решения всех проблем. Сам Гильберт выразил эту мысль такими словами: «Мы хотим знать, мы будем знать» ( Wirmiissen wissen, wir werden wissen). Их он распорядился написать и в своей эпитафии — возможно, в качестве послания будущим поколениям или как посмертный вызов Гёделю (Гильберт скончался в 1943 году, через 13 лет после того, как Гёдель сформулировал свою теорему).
Итак, что именно представляет собой математическая проблема? Что мы хотим сказать, когда утверждаем, что проблемы Гильберта были сложными? Может ли считаться сложной задача: «сосчитайте сумму всех чисел от единицы до миллиона»?
Большинство проблем, которые изучает математическая наука, сформулированы как гипотезы. Гипотеза — это утверждение, которое кажется истинным, но его истинность еще не доказана. Знаменитый пример — так называемая гипотеза Гольдбаха, сформулированная прусским математиком Кристианом Гольдбахом в 1742 году:
«Любое четное число, большее двух, может быть выражено в виде суммы двух простых чисел».
