В этом, по сути, и состоит красота и сила моего призвания. Если речь идет о математике, от нее всегда ожидают абсолютно точных утверждений. Математическая теорема — это точное утверждение, остающееся непреложной истиной вне зависимости от пространства, времени, мнения людей и авторитетов. Эта особенность математики резко отличает ее от эмпирических наук, в которых основным методом исследования является постановка экспериментов, по результатам которых и принимается или не принимается то или иное утверждение (конечно, после достаточно большого испытательного срока). В этом случае при последующей проверке результаты могут быть пересмотрены, и нельзя быть уверенными на сто процентов, что установленный вами факт — истина в последней инстанции.
Конечно, часто удается найти более общий и совершенный вариант известной математической теоремы, что, впрочем, не упраздняет ее истинности. Продолжая аналогию со строительством, можно сказать, что здание при этом остается столь же крепким; производится всего лишь небольшое расширение или перепланировка, не затрагивающая фундамента. Иногда косметического ремонта оказывается недостаточно, и тогда приходится даже разрушать «интерьер» здания и создавать новый. Несмотря на то что старые теоремы все так же справедливы, порой возникает потребность в новых разработках или свежем наборе данных, чтобы создать более полную картину.
Наиболее важные теоремы обычно проверяют и перепроверяют много раз и многими способами, не оставляя ни единого шанса на ошибку. Разумеется, доказательства менее очевидных теорем, которые не подверглись столь тщательной проверке, могут содержать ошибки. Если ошибка обнаружена, комнату в здании или даже целое крыло приходится разрушать и выстраивать заново. И все же остальное здание — прочное сооружение, прошедшее проверку временем, — остается нетронутым.
Одним из величайших архитекторов геометрии стал Пифагор, которому приписывают открытие формулы, представляющей собой одно из самых прочных сооружений из когда-либо возведенных в математике. Теорема Пифагора (именно такое название она носит) утверждает, что в прямоугольном треугольнике, то есть в треугольнике, один из углов которого равен 90°, квадрат длины наибольшей из сторон (гипотенузы) равен сумме квадратов двух более коротких (катетов). Бывшие и нынешние школьники легко вспомнят соответствующую формулу: a>2 + b>2 = c>2. Это весьма простое, но невероятно мощное утверждение столь же важно сегодня, как и 2500 лет назад, когда оно было сформулировано. Применение данной теоремы не ограничивается школьной математикой. Эта теорема настолько важна и всеобъемлюща, что я, например, использую ее почти каждый день, практически не замечая этого.