Теория струн и скрытые измерения Вселенной (Яу, Надис) - страница 48

Я не хотел бы, чтобы у вас возникло впечатление, будто бы начало геометрического анализа было заложено только в первой половине 1970-х годов, когда я остановил свой выбор на этой области математики. Как я уже говорил, в математике никто не может заявить о том, что он начал что-либо с чистого листа. Так и идея геометрического анализа восходит еще к XIX столетию — а именно к работам французского математика Анри Пуанкаре, который, в свою очередь, основывался на трудах Римана и других его предшественников.

Рис. 3.3. Метод геометрического анализа, известный как поток сокращения кривых, дает математическое описание механизма превращения любой несамопересекающейся замкнутой кривой в окружность без возникновения при этом каких-либо особенностей, таких как выступы, петли или узлы

Вклад, внесенный многими из моих непосредственных предшественников в математику, был весьма значителен, таким образом, к моменту моего выхода на сцену в области нелинейного анализа уже имелось множество детально разработанных теорий. К подобным теориям относится разработанная Морри, Алексеем Погореловым и другими теория нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных для случая двухмерного пространства, которые называют эллиптическими уравнениями и которые будут обсуждаться в пятой главе. В 1950-х годах Эннио де Джорджи и Джон Нэш разработали методы исследования подобных уравнений для случая большего числа измерений и более того — для любого числа измерений. Вскоре после этого теории, созданные для большого числа измерений, были развиты такими учеными, как Морри и Луис Ниренберг, что говорит о том, что я выбрал отличное время для начала работы в данной области и применения разработанных ими методов к геометрическим задачам.

Несмотря на то что подход, который я и мои коллеги взяли на вооружение в начале 1970-х, не был чем-то совершенно новым, мы попытались взглянуть на него с совершенно иной точки зрения. Так, для Морри дифференциальные уравнения в частных производных имели фундаментальное значение сами по себе и представляли скорее подлежащее изучению прекрасное творение разума, нежели средство для достижения какой-либо цели. Интересуясь также и геометрией, он рассматривал ее в основном как источник интересных дифференциальных уравнений, точно так же он смотрел и на многие области физики. И хотя мы оба восхищались этими уравнениями, наши цели были практически противоположны — вместо того, чтобы пытаться искать новые нелинейные уравнения в геометрических задачах, я собирался использовать эти уравнения для решения геометрических задач, до этого считавшихся неразрешимыми.