Когда Роберту было три года, их большая семья (в нее также входили восемь детей от первого брака его отца) поселилась неподалеку от Нью-Брэмптона. Получив начальное образование в детском саду миссис Уилке и окончив затем честерфилдскую среднюю школу, Роберт поступил в Фалнекскую школу – известное учебное заведение, расположенное между Лидсом и Брэдфордом, которым руководила религиозная община моравских братьев. Семья Робинсонов исповедовала конгрегационализм и Роберт оставался в Фалнекской школе до 1902 года, а затем поступил в Манчестерский университет.
Роберт проявлял глубокий интерес к математике, но отец, видя в сыне продолжателя семейного бизнеса, настоял на том, чтобы он изучал химию. Химический факультет Манчестерского университета, во главе которого стоял Уильям Г. Перкин-младший, был в то время ведущим центром в области преподавания и научных исследований.
Когда Роберт поступил туда, членом факультета был родившийся в России химик Хаим Вейцман, будущий первый президент Израиля и основатель Научно-исследовательского института в Реховоте.
В 1905 году, окончив с отличием университет, Роберт стал работать в частной научно-исследовательской лаборатории Перкина, где изучал структуру и химические свойства бразилина, получаемого из дерева красителя. Это природное красящее вещество и его производное, гематоксилин, оставались предметом исследований Робинсона в течение последующих 69 лет. К числу других тем, интерес к которым возник у Робинсона в период совместной работы с Перкином и сохранялся на протяжении всей жизни, относятся соли перилия, антоцианидины и синтез алкалоидов.
В 1910 году он получил докторскую степень, а 2 года спустя, в возрасте 26 лет, стал первым профессором чистой и прикладной органической химии в Сиднейском университете в Австралии. В том же году он женился на Гертруде Майд Уэлш, которая вместе с ним училась в Манчестерском университете. У супругов родились сын и дочь.
Робинсон заведовал кафедрами органической химии в университетах Ливерпуля, Сент-Эндрю и Манчестера, а также в Университетском колледже Лондона. Он стал преемником Перкина в качестве профессора химии Оксфордского университета. В 1920 году Робинсон в течение короткого времени работал руководителем научно-исследовательских работ «Бритиш дайстафф корпорейшн», где приобрел обширные знания в области химии красителей. Они очень пригодились ученому, когда тот в 1929 году занял должность консультанта в научно-исследовательской комиссии отдела красящих веществ «Империал кемикл индастриз лимитед».