После войны Кулак поступил в институт пищевой промышленности, а когда в 1947 году в Московском химико-технологическом институте был создан секретный факультет для подготовки кадров для атомной промышленности, его в числе немногих счастливчиков перевели туда. Как бывший фронтовик, он никогда не афишировал свое героическое прошлое и все время посвящал учебе. Поэтому ни для кого не было неожиданностью зачисление его как сталинского стипендиата после окончания института в аспирантуру. В 1957 году он блестяще защитил диссертацию по теме «Радиоактивный анализ редких металлов» и перед ним открывались перспективы солидной научной карьеры. Но в это время руководство «Т» ПГУ КГБ (научно-техническая разведка) предложило ему работу во внешней разведке. После некоторого раздумья Кулак дал согласие и в 1958 году был направлен в 101-ю разведшколу КГБ.
«Это был очень ответственный человек, — вспоминает о Кулаке один из учившихся вместе с ним в разведшколе. — Если на практических занятиях ему не удавалось оторваться от наружки, он тяжело переживал это, как никто другой. Борец за правду, не щадил конъюнктурщиков, какие бы посты они ни занимали, вплоть до партийных вождей. Мог так высказаться в чей-нибудь адрес, что у нас уши вяли. Ну, понесло Леху, говорили мы в таких случаях».
После окончания разведшколы Кулак был направлен и управление «Т», а в ноябре 1961 года был командирован в Нью-Йорк, под видом сотрудника ООН. С ноября 1961 года по январь 1964 года он работал в Секретариате ООН, в отделе заместителя генерального секретаря по специальным политическим вопросам и одновременно пыл консультантом Научного комитета ООН по изучению последствий атомной радиации, а в январе 1964 года был переведен в советское представительство ООН, где проработал до января 1968 года, после чего вернулся в Москву. Снова в Нью-Йорк: Кулак был командирован в середине 1971 года на должность атташе по науке при советском представительстве в ООН и находился там до февраля 1977 года.
В начале весны 1962 года он явился в представительство ФБР в восточной части Манхэттена и предложил свои услуги. Свое решение он мотивировал тем, что к СССР не ценят его способности и не продвигают по службе в КГБ. В ФБР новый агент получил псевдоним ФЕДОРА, а в ЦРУ — СКОТЧ.[41] За годы сотрудничества Кулака с ФБР он раскрыл сведения о сотрудниках КГБ в Нью-Йорке, сообщал о ежегодных заданиях резидентурам по сбору информации в области науки и техники, а также перечни вопросов, которые интересовали руководство разведки. Он помог установить объекты интереса КГБ в военной области, прежде всего в сфере производства вооружений. Учитывая ограниченные возможности ФБР для проникновения в советскую колонию в Нью-Йорке, Кулак являлся весьма полезным источником информации Шеф ФБР Эдгар Гувер безоговорочно доверял ФЕДОРЕ, а за полученные сведения ФБР выплатило ему, по некоторым данным, 100 тысяч долларов.