* * *
Успешное решение всякой головоломки оказывает важное позитивное влияние на ваше эго, но дополнительное очарование в решении задачек судоку состоит отчасти во внутренней красоте и уравновешенности идеального латинского квадрата, определяющего их форму. Успех судоку — свидетельство уходящего в века и существующего в самых различных культурах фетиша в виде числовых квадратов. И в отличие от массы всяких других головоломок успех судоку — это одновременно и замечательная победа математики. Хотя в судоку нет никакой арифметики, решение требует абстрактного мышления, распознавания образов, логической дедукции и построения алгоритмов.
Например, как только вы поняли правила судоку, становится полностью ясной идея единственности решения. Для каждой числовой структуры в таблице имеется только одно возможное окончательное расположение для чисел в пустых клетках. Однако при этом не верно, что всякая частично заполненная таблица будет иметь единственное решение. Вполне может случиться, что некий квадрат 9 × 9 с расставленными в нем числами не имеет решения, как может случиться и то, что у данного квадрата будет много решений. Когда британский спутниковый канал «Sky TV» запустил Судоку-шоу, продюсеры нарисовали таблицу размером 275 на 275 футов на известняковом холме, расположенном где-то в сельской местности в Англии. Это, по их утверждению, было самое большое судоку в мире. Однако предложенные ими числа позволяли заполнить квадрат 1905 различными способами. Таким образом, разрекламированное самое большое судоку не имело единственного решения, а потому и не могло классифицироваться как судоку.
Область математики, имеющая дело с перечислением комбинаций (таких, например, как упомянутые 1905 решений фальшивого судоку, предложенного «Sky TV»), называется комбинаторикой. Она состоит из изучения перестановок и комбинаций предметов, подобных числам из таблицы. Кроме того, к комбинаторике относится и знаменитая задача о коммивояжере. Пусть, скажем, я — коммивояжер, и мне надо заехать в 20 магазинов. В каком порядке мне надо в них заезжать, чтобы полный путь, который я проделаю, оказался минимальным? Решение требует рассмотрения всех перестановок путей между всеми магазинами, и представляет собой классическую (и исключительно сложную) комбинаторную задачу. Подобные задачи постоянно возникают в бизнесе и промышленности; например, при составлении расписания вылета самолетов из аэропорта или при проектировании эффективной системы сортировки почты.
Комбинаторика — это область математики, которая имеет дело с исключительно большими числами. Как мы видели на примере магических квадратов, уже небольшое количество чисел можно расположить на удивление большим количеством способов. Хотя и латинские, и магические квадраты образуют квадратные таблицы, при их одинаковом размере латинских квадратов меньше, чем магических, однако латинских квадратов все равно очень много. Например, количество латинских квадратов размером 9 × 9 выражается числом из 28 цифр. Сколько среди них различных судоку? Число латинских квадратов, представляющих собой судоку, — то есть таблиц размером 9 × 9, в которых 9 подквадратов содержат все цифры, — меньше полного числа примерно в сто тысяч раз и равно 6 670 903 752 021 072 936 960. Впрочем, многие из этих таблиц представляют собой различные варианты одного и того же квадрата, получаемые отражением или вращением (что мы видели выше для магического квадрата 3 × 3). Если не считать квадраты, получаемые вращениями и отражениями, то искомое количество заметно уменьшается: общее число различных возможностей для целиком заполненных таблиц судоку оказывается равным примерно 5,5 миллиарда.