Греки обнаружили также неожиданную связь между совершенными и простыми числами, которая породила многочисленные связанные с ними приключения. Рассмотрим последовательность удвоений, начинающуюся с 1:
В своих «Началах» Евклид показал, что всегда, когда сумма удвоений есть простое число, можно найти совершенное число, умножая сумму на наибольшее из тех удвоений, что в нее входят. Это звучит как малопонятная тирада, так что давайте начнем складывать удвоения, чтобы увидеть, что же все это означает.
1 + 2 = 3. Число 3 простое, так что мы умножим 3 на старшее из наших удвоений, то есть на 2: 3 × 2 = 6, а число 6 совершенно.
1 + 2 + 4 = 7. Число 7 снова простое. Поэтому умножим 7 на 4, что даст еще одно совершенное число, а именно 28.
1 + 2 + 4 + 8 = 15. Это число не простое. Не появится здесь и совершенного числа.
1 + 2 + 4 + 8 + 16 = 31. Это число простое, а 31 × 16 = 496 — совершенное число.
1 + 2 + 4 + 8 +16 + 32 = 63. Это число не простое.
1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 = 127. Это число также простое, а 127 × 64 = 8128 — совершенное число.
Доказательство Евклида было, конечно, геометрическим. Он не записывал его в терминах чисел, а использовал отрезки прямых. Однако если бы он мог позволить себе роскошь современных алгебраических обозначений, то заметил бы, что сумму удвоений 1 + 2 + 4 +… можно выразить как сумму степеней двойки, 2>0 + 2>1 + 2>2 +… (Заметим, что любое число в степени 0 есть 1 и что любое число в степени 1 есть само это число.) Тогда становится понятным, что любая сумма удвоений равна следующему удвоению за вычетом единицы. Например:
1 + 2 = 3 = 4 - 1, или 2>0 + 2>1 = 2>2 - 1
1 + 2 + 4 = 7 = 8–1, или 2>0 + 2>1 + 2>2 = 2>3 - 1.
Это можно обобщить в виде формулы 2>0 + 2>1 + 2>2 +… + 2>n-1 = 2>n - 1. Другими словами, сумма первых n удвоений равна 2>n - 1.
Итак, используя исходное заявление Евклида о том, что «когда сумма удвоений есть простое число, можно построить совершенное число, умножая сумму на наибольшее из тех удвоений, что в нее входят» и добавляя к этому современные алгебраические обозначения, мы можем получить намного более четкое утверждение:
Если число 2>n - 1 простое, то число (2>n - 1) × 2>n-1 совершенное.
Для цивилизаций, которые превозносили совершенные числа, данное Евклидом доказательство было потрясающей новостью. Если совершенные числа можно породить всякий раз, когда число 2>n - 1 простое, то все, что нужно для нахождения новых совершенных чисел, — это нахождение простых чисел, которые можно записать в виде 2>n - 1. Охота за совершенными числами свелась к охоте за простыми числами определенного типа.