Алекс в стране чисел. Необычайное путешествие в волшебный мир математики (Беллос) - страница 152

Когда и время, и расстояние описываются последовательностью, каждый член которой в два раза меньше предыдущего, их суммы одновременно сходятся к определенному конечному значению — в нашем случае к 2 секундам и 2 метрам. Итак, в конце концов выясняется, что Ахилл все же догонит черепаху.

Впрочем, не все парадоксы Зенона решаются с помощью математики бесконечных рядов. В «парадоксе дихотомии» бегун отправляется из А в В. Назовем первую точку, которую он пройдет после того, как выйдет из точки А, точкой С. Но чтобы попасть в С, он должен сначала пройти через точку, расположенную на полпути до С. Следовательно, С не может быть первой точкой, через которую он пройдет. Получается, нет никакой «первой точки», через которую проходит бегун, потому что всегда найдется точка, через которую он должен пройти до того. Если же нет первой точки, через которую проходит бегун, говорит нам Зенон, значит, бегун никогда не сможет сдвинуться с точки А.

Согласно легенде, для опровержения этого парадокса киник Диоген молча встал и прошел от А до В, тем самым продемонстрировав, что движение возможно. Но зеноновский парадокс дихотомии не удается так просто списать со счета. За два с половиной тысячелетия, в течение которых ученые чесали затылки, никто не смог полностью разрешить эту загадку. Часть проблемы состоит в том, что непрерывная линия не допускает адекватного представления последовательностью ни из бесконечного числа дискретных точек, ни из бесконечного числа малых интервалов. Подобным же образом непрерывный промежуток времени невозможно адекватно представить бесконечным числом дискретных временных интервалов. Концепции непрерывности и дискретности не хотят уживаться друг с другом.

Десятичная система предоставляет нам чудесный пример парадокса в духе Зенона. Каково самое большое число, меньшее единицы? Это не 0,9, потому что 0,99 больше него, но при этом меньше единицы. Но это и не 0,99, поскольку 0,999 еще больше, но все равно меньше единицы. Единственный возможный кандидат — это периодическая десятичная дробь 0,9999…, где многоточие означает, что девятки продолжаются неограниченно. Здесь-то и заключается парадокс. Искомое число не может быть равно 0,9999…, потому что 0,9999… совпадает с числом 1!

Вот как на это можно смотреть. Если бы 0,9999… было числом, отличным от 1, то между ними был бы некий интервал на числовой прямой. А тогда было бы возможно втиснуть в этот интервал еще какое-то число — число больше 0,9999… и меньше 1. Но что это могло бы быть за число? Подобраться к 1 ближе, чем 0,9999…, нельзя. Таким образом, если 0,9999… и 1 неразличимы, то они должны совпадать. Сколь бы странным такое ни казалось, 0,9999… = 1.