Алекс в стране чисел. Необычайное путешествие в волшебный мир математики (Беллос) - страница 155

Этот результат представляется удивительным, но, посмотрев на происходящее повнимательнее, мы, несомненно, поймем, в чем тут дело. Устранение девяток избавляет нас только от одного из первых 10 членов гармонического ряда. Но уже в первой сотне удаляются 19 членов, а в первой тысяче — 271. Когда числа становятся очень большими, скажем, длиной в 100 цифр, подавляющее большинство их содержит хотя бы одну девятку. И оказывается, что «утоньшение» гармонического ряда за счет удаления членов с девятками удаляет почти все члены.

Однако тонкая настройка гармонического ряда может оказаться еще более захватывающей. Мы произвольным образом решили удалить девятки. Если бы мы удалили из гармонического ряда все члены, содержащие 8, то оставшиеся члены также сходились бы к конечному числу, и то же самое повторилось бы при удалении всех членов, содержащих 7, и вообще любую выбранную цифру. На самом деле нет никакой необходимости ограничиваться отдельными цифрами. Удалим все члены, содержащие любое выбранное число, и «утоньшенный» таким способом гармонический ряд окажется сходящимся. Таким числом может быть, например, 9 или 42, или 666, или 314 159, — в каждом случае действует то же самое рассуждение.

Возьмем для примера число 666. В числах между 1 и 1000 сочетание цифр 666 встречается один раз. Между 1 и 10 000 оно встречается 20 раз, между 1 и 100 000 — 300 раз. Другими словами, процент его появления равен 0,1 % в первой тысяче чисел, 0,2 % — в первых 10 000 и 0,3 % — в первых 100 000. По мере перехода ко все большим и большим числам сочетание 666 будет встречаться все чаще и чаще. В конце концов окажется, что почти все числа содержат в себе 666. Стоит только выбросить их из гармонического ряда — и полученный «утоньшенный» ряд будет сходиться.

В 2008 году Томас Шмелцер и Роберт Бейли вычислили, что гармонический ряд, лишенный членов, содержащих число 314 159, суммируется к числу, немного превосходящему 2,3 миллиона. Это большое число, но ему ох как далеко до бесконечности.

Отсюда следует, что «гармонический ряд», состоящий из одних только членов, включающих сочетание цифр 314 159, должен суммироваться к бесконечности. Другими словами, ряд

суммируется к бесконечности. Хотя он и начинается с очень маленького числа, и затем его члены становятся только меньше, сумма всех членов в конце концов преодолеет любое наперед заданное число. Причина, как и раньше, состоит в том, что, когда числа делаются очень большими, почти каждое число содержит в себе последовательность цифр 314 159. Почти все дроби с единичным числителем содержат 314 159 в знаменателе.