Алекс в стране чисел. Необычайное путешествие в волшебный мир математики (Беллос) - страница 159
| F>0 = 0. | |||
| F>1 = 1. | F>6 = 8, | F>11 = 89, | F>16 = 987, |
| F>2 = 1. | F>7 = 13, | F>12 = 144. | F>17 = 1597, |
| F>3 = 2, | F>8 = 21, | F>13 = 233, | F>18 = 2584, |
| F>4 = 3, | F>9 = 34, | F>14 = 377, | F>19 = 4181, |
| F>5 = 5, | F>10. = 55, | F>15 = 610, | F>20 = 6765. |
При более близком рассмотрении удается заметить, что наша последовательность воспроизводит саму себя многими и весьма неожиданными способами. Взглянем на числа F>3, F>6, F>9 — другими словами, на каждое третье F-число. Все они делятся на 2. А числа F>4, F>8, F>12 — то есть каждое четвертое F-число — делятся на 3. Каждое пятое F-число делится на 5, каждое шестое F-число делится на 8, и каждое седьмое — на 13. Эти делители в точности являются F-числами из самой последовательности.
Другой впечатляющий пример получается при вычислении 1/F>11, то есть >1/>89. Это число равно сумме чисел
0,0
0,01
0,001
0,0002
0,00003
0,000005
0,0000008
0,00000013
0,000000021
0,0000000034
Таким образом, здесь снова высовывает голову последовательность Фибоначчи[51].
А вот другое интересное математическое свойство этого ряда. Возьмем любые три последовательных F-числа. Произведение первого на третье всегда на 1 отличается от квадрата второго числа.
Для F>4, F>5, F>6 имеем F>4 × F>6 = F>5 × F>5 - 1 (24 = 25 - 1).
Для F>5, F>6, F>7 имеем F>5 × F>7 = F>6 × F>6 +1 (65 = 64 + 1).
Для F>18, F>19, F>20 : F>18 × F>20 = F>19 × F>19 - 1 (17 480 760 = 17 480 761 - 1).
Это свойство лежит в основе магического фокуса возрастом в несколько сотен лет. Фокус состоит в том, что квадрат, состоящий из 64 единичных квадратов, можно разрезать на четыре куска так, что, сложив их по-другому, мы получим прямоугольник из 65 единичных квадратов. Вот как это делается: нарисуем квадрат, составленный из 64 маленьких квадратиков. Сторона большого квадрата имеет длину 8. В последовательности Фибоначчи два F-числа, идущие перед 8, — это 5 и 3. Разделим большой квадрат на куски, используя длины 5 и 3. Куски можно сложить по-другому в прямоугольник со сторонами длиной 5 и 13, и площадь этого прямоугольника равна 65:
Разгадка фокуса состоит в том, что после изменения конфигурации куски не точно прилегают друг к другу. Хотя этого и не видно сразу невооруженным глазом, на самом деле имеется тонкий длинный зазор вдоль средней диагонали, и площадь этого зазора равна площади одного маленького квадратика.
В начале XVII столетия немецкий астроном Иоганн Кеплер писал, что «как 5 относится к 8, так же, примерно, 8 относится к 13, и как 8 относится к 13, так же, примерно, 13 относится к 21». Другими словами, он обратил внимание, что отношения последовательных F-чисел близки друг к другу. Столетие спустя шотландский математик Роберт Симсон усмотрел нечто еще более невероятное. Если взять отношения последовательных F-чисел и расположить их в последовательность