Алекс в стране чисел. Необычайное путешествие в волшебный мир математики (Беллос) - страница 210

Его зачаровывала математическая глубина открытых им структур. «Удивительно, насколько изобилен он (имелся в виду треугольник) в своих свойствах», — поражался Паскаль, добавляя, что в книгу он смог поместить меньшую часть того, что ему известно.

Мне в треугольнике Паскаля больше всего нравится вот какое свойство. Пусть каждое число сидит в квадратике. Закрасим черным все квадратики с нечетными числами, а все квадратики с четными числами оставим белыми. В результате получается чудесная мозаика:

Возникающий узор напоминает ковер Серпинского — кусок математической фрактальной структуры, похожий на обивку, о котором говорилось во второй главе (квадрат делится на девять подквадратов, а потом центральный подквадрат удаляется, и тот же процесс повторяется для каждого из оставшихся подквадратов до бесконечности). Треугольный вариант ковра Серпинского называется треугольником Серпинского: в данном случае равносторонний треугольник делится на четыре одинаковых равносторонних треугольника, средний из которых затем удаляется, а три оставшихся снова подвергаются той же операции — разбиению на четыре и удалению среднего. Вот как выглядят первые три итерации:

Если распространить описанный выше метод закрашивания треугольника Паскаля на все большее и большее количество строк, то возникающая структура будет все более напоминать треугольник Серпинского. На самом деле в бесконечном пределе треугольник Паскаля становится треугольником Серпинского.

Серпинский — не единственный наш знакомец, кого можно встретить на этом черно-белом паркете. Рассмотрим белые треугольники, расположенные внизу по центру основного треугольника. Первый из них составлен из одного квадрата, второй — из 6 квадратов, третий — из 28, а далее идут числа 120 и 496. Ничего не напоминает? Три из этих чисел — 6, 28 и 496 — это совершенные числа, рассматривавшиеся в седьмой главе. Их появление — замечательное и очень наглядное выражение абстрактных идей, с виду никак не связанных.

Интерес древних индийцев к треугольнику Паскаля был вызван задачей о комбинациях объектов. Пусть, например, у нас имеется три фрукта: манго, личи и банан и всего одна их комбинация: манго, личи, банан. Если же мы желаем выбрать только два фрукта, то сделать это можно тремя различными способами: взять манго и личи, или манго и банан, или же личи и банан. Также тремя способами можно выбрать какой-то один фрукт. Наконец, надо рассмотреть и случай, когда выбирается нуль фруктов, и это можно сделать только одним-единственным способом. Другими словами, число комбинаций трех различных фруктов дает последовательность 1, 3, 3, 1 — третью строчку в треугольнике Паскаля.