в номер
n + 1. Как только это будет сделано, у каждого из старых постояльцев по-прежнему будут свои собственные апартаменты, а номер с табличкой 1 освободится для вновь приехавшего. Вот и отлично!
На следующий день возникает более сложная ситуация. Приезжает автобус, и каждому пассажиру этого автобуса нужен номер. А в автобусе бесконечное число сидений, занумерованных как 1, 2, 3 и так далее, и все они заняты. Есть ли теперь хоть какой-то способ расселить всех без исключения пассажиров? Другими словами, хотя гостиница и полна, может ли администратор так перетасовать постояльцев по номерам, чтобы в итоге освободить бесконечное число номеров для пассажиров автобуса? Да это легче легкого, говорят нам.
Все, что надо проделать на этот раз, — это переселить каждого постояльца в номер, на двери которого написано число в два раза большее, чем то, что написано на номере, где этот постоялец живет в данный момент. Тем самым заполнятся номера 2, 4, 6, 8…. А все номера, на дверях которых написано нечетное число, освободятся, и пассажирам автобуса дадут ключи от них. Пассажир, ехавший на первом сиденье, получит номер 1 (первое из нечетных чисел), пассажир, ехавший на втором сиденье, получит номер 3 (второе нечетное число) и т. д.
На третий день в Гильбертов отель прибывает много автобусов. Бесконечно много. Автобусы выстраиваются на стоянке перед гостиницей: сначала автобус 1, затем автобус 2, вслед за ним автобус 3 и т. д. В каждом автобусе — бесконечное число пассажиров (это автобусы того же типа, что приезжали накануне). И понятно, каждому пассажиру требуется номер. Есть ли способ найти для каждого пассажира из каждого автобуса номер в (уже заполненном) Гильбертовом отеле? Не проблема, отвечает администратор. Прежде всего ему надо освободить бесконечно много номеров. Он делает это тем же способом, что и накануне, — переселяет каждого постояльца в комнату с удвоенным номером. В результате свободными оказываются все нечетные номера. Все, что ему надо сделать, чтобы разместить там бесконечное число групп автобусных пассажиров, — это найти способ пересчитать всех пассажиров, потому что, как только он найдет такой способ, он поселит первого пассажира из списка в номер 1, второго — в номер 3, третьего — в номер 5 и т. д.
Администратор проделывает следующее. Сначала составляется список пассажиров, в котором каждый пассажир представлен записью вида m/n, где m — это номер автобуса, на котором данный пассажир приехал, а n — номер его места в автобусе. Если начать с пассажира, ехавшего на первом месте в первом автобусе (путешественник 1/1), а затем следовать по зигзагообразной кривой, показанной ниже, — так, что вторым окажется путешественник, занимавший второе место в первом автобусе (1/2), затем тот, кто сидел на первом месте во втором автобусе (2/1), и т. д. — в концов концов окажутся переписанными все без исключения пассажиры.