Алекс в стране чисел. Необычайное путешествие в волшебный мир математики (Беллос) - страница 232
Теперь перенесем на язык символьной математики то, что мы узнали про Гильбертов отель.
Когда номер нашли для одного путешественника, это эквивалентно формулируется как 1 + ℵ>0 = ℵ>0.
Когда номер нашли для счетно-бесконечного числа путешественников, мы узнали, что ℵ>0 + ℵ>0 = ℵ>0.
Когда счетно-бесконечное число пассажиров в каждом автобусе из счетно-бесконечного числа автобусов смогли расселиться по номерам, мы узнали, что ℵ>0 × ℵ>0 = ℵ>0. Таковы правила, которых мы ожидаем от бесконечности: прибавление бесконечности к бесконечности дает бесконечность, и умножение бесконечности на бесконечность также дает бесконечность.
Давайте на секунду остановимся. Мы уже получили один потрясающий результат. Взглянем снова на таблицу с номерами мест и номерами автобусов. Рассмотрим каждого путешественника, обозначаемого символом m/n, как дробь >m/>n. Если продолжить нашу таблицу до бесконечности, в ней будут указаны все без исключения положительные дроби — просто потому, что положительные дроби и представляют собой выражения >m/>n для любых натуральных чисел m и n. Например, дробь >5628/>785 окажется перечисленной, когда мы доберемся до 5628-й строки и 785-го столбца. Зигзаговый метод подсчета всех пассажиров во всех автобусах можно поэтому использовать и для пересчета всех положительных дробей. Другими словами, множество положительных дробей и множество натуральных чисел имеют одно и то же кардинальное число ℵ>0. Интуитивно кажется, что дробей должно быть больше, чем натуральных чисел, потому что между любыми двумя натуральными числами имеется бесконечное число дробей, и, однако же, Кантор показал, что наша интуиция неверна. Положительных дробей ровно столько же, сколько и натуральных чисел. (Конечно, положительных и отрицательных дробей тоже столько же, сколько натуральных чисел, потому что имеется ℵ>0 положительных дробей и ℵ>0 отрицательных, а из предыдущего мы знаем, что ℵ>0 + ℵ>0 = ℵ>0)
Чтобы оценить, насколько необычным является этот результат, рассмотрим числовую прямую, которая позволяет воспринимать числа как точки на линии. Вот числовая прямая, начинающаяся в 0 и устремляющаяся в бесконечность:
Каждую положительную дробь можно рассматривать как точку на этой числовой прямой. Из предыдущих глав мы знаем, что имеется бесконечно много дробей, заключенных между 0 и 1, а равным образом между 1 и 2 или между двумя любыми другими числами. Теперь представим себе, что мы поднесли к числовой прямой микроскоп, который позволяет разглядеть, что происходит между точками, представляющими дроби