Алекс в стране чисел. Необычайное путешествие в волшебный мир математики (Беллос) - страница 38

и «neuf»), испанский («nueve» и «nuevo»), немецкий («neup» и «neu») и норвежский («ni» и «ny»), — это наследие давно позабытой системы счета с основанием 8, в которой девятый предмет шел первым в новом наборе из восьми. (Если не использовать большие пальцы, то на обеих руках остается восемь пальцев, что, возможно, и послужило развитию системы с основанием 8. Или, быть может, она возникла из пересчета промежутков между пальцами.) Слова-числительные также напоминают нам, насколько недалеко мы ушли от племен Амазонии и Австралии, вообще не знающих чисел: по-английски «thrice» может означать как «три раза», так и «много раз»; по-французски «trois» — это «три», a «frès» — «очень»; все это — напоминания о той далекой поре, когда наши предки тоже считали «один, два, много».

Итак, определенные аспекты числа — такие, как основание, способ составления числительных и используемые словоформы — различны в разных культурах. Однако ранние цивилизации проявляли удивительное единодушие в отношении механических средств для счета и вычислений. Общий метод, который они применяли, называется «позиционным». Он основан на принципе, согласно которому различные положения используются для представления чисел различных порядков. Рассмотрим, что это означало, например, для пастухов в средневековом Линкольншире. Как уже говорилось, у них было 20 чисел, от «yan» до «piggot». Как только пастух доходил в счете овец до 20, он откладывал камушек и начинал снова считать от «yan» до «piggot». Если имелось 400 овец, у него должно было набраться 20 камушков, потому что 20 × 20 = 400. Представим себе теперь, что у пастуха тысяча овец. Если он пересчитает их всех, у него наберется 50 камушков, потому что 20 × 50 = 1000. Однако перед ним встает проблема: у него нет способа их сосчитать, ведь его счет ограничен числом 20!

Всего овец = (10 × 20) + (2 × 400) = 1000

Однако выход есть: нужно нарисовать на земле параллельные бороздки, как показано на рисунке. Когда пастух насчитает 20 овец, он положит камень в первую бороздку. Когда он насчитает следующие 20, положит еще один камень в первую бороздку. Первая бороздка будет постепенно заполняться камнями. Но когда настанет момент класть туда двадцатый камень, вместо этого он положит один-единственный камень во вторую бороздку, а из первой уберет все камни. Другими словами, один камень во второй борозде означает 20 камней в первой — в точности так же, как один камень в первой означает 20 овец. Тогда камень во втором ряду будет означать 400 овец. Пастух, у которого тысяча овец, при использовании этой процедуры получит два камня во втором ряду и десять в первом. Используя подобную позиционную систему счисления — когда разные борозды придают различные значения положенным в них камням, — он потратил только 12 камней, чтобы досчитать до 1000 овец, а не 50 камней, которые потребовались бы без этого изобретения.