Алекс в стране чисел. Необычайное путешествие в волшебный мир математики (Беллос) - страница 48
Теорема Пифагора утверждает, что в любом прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. Эти слова отпечатаны у меня в мозгу, как один из первых детских стишков или как рождественский гимн; эта фраза вызывает ностальгическое ощущение и умиротворяет независимо от содержащегося в ней смысла.
Гипотенуза — это сторона, противолежащая прямому углу, а прямой угол — это четверть полного оборота. Теорема Пифагора — абсолютный чемпион по популярности во всех начальных курсах по геометрии, первая действительно наводящая на размышление математическая концепция, изучаемая в школе. Меня в ней восхищает, насколько глубокую связь она вскрывает между числами и пространством. Не у всех треугольников имеется прямой угол, но, когда такой угол есть, сумма квадратов двух сторон должна быть равна квадрату третьей. Теорема верна и в противоположном направлении: возьмем любые три числа. Если сумма квадратов двух из них равна квадрату третьего, то можно построить прямоугольный треугольник, длины сторон которого будут как раз заданными числами.
Теорема Пифагора
В ряде комментариев о Пифагоре говорится, что до основания братства он предпринял путешествие в Египет с целью сбора фактов. Если бы он заглянул на египетскую строительную площадку, то наверняка бы заметил, что для создания прямого угла рабочие использовали прием, представляющий собой применение теоремы, позднее названной его именем. На веревке делались отметки в виде завязанных узлов на расстояниях, равных 3, 4 и 5 единицам. Поскольку 32 + 42 = 52, когда веревкурастягивали между тремя колышками так, чтобы у каждого колышка оказывался узел, она образовывала треугольник, один из углов которого был прямым.
Натягивание веревки — самый удобный способ получения прямых углов, необходимых для того, чтобы кирпичи или гигантские каменные блоки, подобные тем, что использовались при строительстве пирамид, можно было слой за слоем класть друг на друга[15]. (Слово «гипотенуза» происходит из греческого слова, означающего «протянутая, растянутая снизу».) Чтобы получить настоящий прямой угол, египтяне могли использовать и много других чисел, кроме 3, 4 и 5. В действительности имеется бесконечное количество чисел а, b и с, таких что а>2 + b>2 = с>2. Египтяне могли бы отметить на своих веревках, например, длины в 5, 12 и 13 единиц, потому что 25 + 144 = 169, или длины 8, 15 и 17, потому что 64 + 225 = 289, или даже 2772, 9605 и 9997, потому что 7 683 984 + 92 256 025 = 99 940 009, хотя это едва ли удобно на практике. Числа 3, 4, и 5 подходят для решения задачи лучше всего. Помимо того что это наименьшая такая тройка чисел, это еще и единственная тройка, в которой целые числа идут подряд. Из-за наследия, оставшегося от натягивания веревок, прямоугольный треугольник со сторонами, находящимися в отношении 3:4:5, известен как «египетский треугольник». Это карманная машина для построения прямых углов — жемчужина нашего математического достояния, интеллектуальный продукт колоссальной мощи, элегантности и точности.