Алекс в стране чисел. Необычайное путешествие в волшебный мир математики (Беллос) - страница 57
Прежде чем мы подойдем к губке Менгера, мне следует познакомить вас с ковром Серпинского. Эту замысловатую фигуру изобрел в 1916 году польский математик Вацлав Серпинский. Начнем с черного квадрата. Представим себе, что он сделан из девяти одинаковых подквадратиков, и удалим центральный (рис. А). Далее для каждого из оставшихся подквадратиков повторим эту операцию — то есть представим себе, что они сделаны из девяти подквадратиков каждый, и удалим центральные (рис. В). Снова повторим тот же процесс (рис. С). Ковер Серпинского — это то, что получится, если продолжать подобные действия до бесконечности.
В 1926 году австрийский математик Карл Менгер предложил трехмерный вариант ковра Серпинского, получивший известность как губка Менгера. Начнем с куба. Представим себе, что он сделан из 27 одинаковых подкубов, и удалим подкуб, расположенный в самом центре, а заодно и шесть подкубов в центре каждой грани исходного куба. Получается куб, в котором просверлили три квадратные дырки (рис. D). Поступим с каждым из оставшихся 20 подкубов как с исходным кубом и удалим 7 из 27 подкубов из каждого (рис. E). Повторим этот процесс еще раз (рис. F), после чего наш куб примет такой вид, будто в нем пировал целый выводок геометрически озабоченных древесных червей.
Губка Менгера
Губка Менгера — поразительный, парадоксальный объект. При продолжении итераций, в ходе которых удаляются все меньшие и меньшие кубы, объем губки все уменьшается, и в конце концов она становится невидимой — как если бы древесные черви съели ее целиком. Однако при каждой итерации, состоящей в удалении кубиков, площадь поверхности губки возрастает. Совершая все больше и больше итераций, можно сделать площадь его поверхности больше любого наперед заданного значения, а это означает, что, когда число итераций стремится к бесконечности, площадь поверхности губки также стремится к бесконечности. В пределе губка Менгера — это объект с бесконечно большой площадью поверхности, но при этом невидимый.
Мозли построила губку Менгера третьего уровня — другими словами, губку, получаемую за три итерации удаления кубиков (рис. F). На это у нее ушло десять лет. Она прибегла к помощи около 200 человек и использовала 66 048 карточек. Построенная ею губка имеет высоту, ширину и глубину по четыре фута и восемь дюймов.
«Я долгое время размышляла над вопросом, делаю ли я нечто совершенно нелепое, — сказала она мне. — Но когда я закончила работу и взглянула на эту штуку, я осознала, что ее масштаб придал всему делу великолепие. Особенно чудесно, что в модель можно засунуть голову и плечи и посмотреть на эту изумительную фигуру с такой точки зрения, с которой раньше никто на нее не смотрел. Это было бесконечно пленительно, потому что чем глубже в нее погружаешься, тем больше видишь повторяющих самих себя структур. Просто смотришь на все это, и ничего объяснять не требуется. Это идея, воплощенная в материале; математика, ставшая наглядной».