Алекс в стране чисел. Необычайное путешествие в волшебный мир математики (Беллос) - страница 58

Хотя оригами — исходно японское изобретение, приемы складывания бумаги развивались — причем совершенно независимо — и в других странах. В Европе пионером оригами был немецкий преподаватель Фридрих Фрёбель, в середине XIX столетия использовавший складывание объектов из бумаги как метод обучения маленьких детишек началам геометрии. Оригами обладало тем преимуществом, что позволяло его подопечным в детском садике наблюдать за тем, как геометрические объекты создаются в пространстве, а не просто рассматривать их плоские изображения на рисунках. Пример Фрёбеля перенял другой математик — индиец Сундара Роу, написавший в 1901 году книгу «Геометрические упражнения со складыванием бумаги», в которой он утверждал, что оригами — математический метод, в ряде случаев оказывающийся более мощным, чем Евклидов. Он говорил, что «несколько важных геометрических процессов можно осуществить намного проще, чем с циркулем и линейкой». Но даже Роу не мог предвидеть, насколько это мощный метод — оригами.

В 1936 году итальянка Маргерита Пьяццола Белок из Университета Феррары опубликовала статью, где доказала, что, взяв лист бумаги с отмеченной на нем длиной L, можно сложить его так, чтобы получить длину, равную кубическому корню из L. Может быть, тогда она этого и не осознавала, но из ее утверждения следовало, что с помощью оригами решалась задача, поставленная перед афинянами делосским оракулом, когда он потребовал, чтобы афиняне удвоили объем куба. Делосская задача переформулируется как задача построения куба со стороной в кубический корень из двух — раз большей стороны заданного куба. С использованием оригами задача сводилась к складыванию длины

, исходя из длины 1. Поскольку мы можем удвоить 1 и получить 2 путем складывания 1 самой на себя, а кроме того, можем найти кубический корень из 2, следуя предписанию Белок, значит, задача решена. Из доказательства Белок также следовало, что любой угол можно разделить на три равные части — и тем самым была побеждена вторая великая нерешаемая задача Античности. Статья Белок, однако, пребывала в безвестности десятилетия, пока в 1970-х годах математики не занялись оригами всерьез.

Первое, опубликованное в 1980 году оригами-доказательство делосской задачи было дано японским математиком; затем один американец в 1986 году предложил трисекцию угла. Всплеск интереса происходил отчасти от усталости — математикам изрядно надоело более чем двухтысячелетнее господство евклидовой ортодоксии. Ограничения, налагаемые Евклидом, — работа только с циркулем и линейкой — сузили границы математических изысканий. Как оказалось, оригами дает гораздо больше возможностей, чем циркуль и линейка, например при построении правильных многоугольников. Евклид смог построить равносторонний треугольник, квадрат, пятиугольник и шестиугольник, однако семиугольник, как мы помним, и девятиугольник ему не покорились. Оригами позволяет относительно легко получать семиугольники и девятиугольники с помощью складывания, хотя по-настоящему серьезным делом оказывается построение 11-угольника. (Строго говоря, здесь речь идет об оригами, где допустимы только однократные складывания. Если разрешить многократные складывания, то в принципе можно построить любой многоугольник, хотя физическое построение из-за своей сложности может оказаться практически невозможным.)