Алекс в стране чисел. Необычайное путешествие в волшебный мир математики (Беллос) - страница 85

, зажимая его снаружи и изнутри, между все более узких пределов. Архимед начал с шестиугольников, а в конце довел дело до многоугольников с 96 сторонами, что позволило ему вычислить π следующим образом:

Это дает 3,14084 < π < 3,14289 — точность в два десятичных разряда.

Шестиугольники Двенадцатиугольники

Однако охотники за числом π не собирались на этом останавливаться. Все, что требовалось, дабы подобраться поближе к истинному значению этого числа, — это строить многоугольники со все большим числом сторон. Лю Хуэй, живший в Китае в III веке, применил сходный метод, используя площадь многоугольника с 3072 сторонами, и получил пять десятичных разрядов числа π: 3,14159. Два столетия спустя Цзу Чунчжи и его сын Цзу Гэнчжи продвинулись дальше еще на одну цифру, до 3,141592, что потребовало многоугольника с 12 288 сторонами.

Грекам и китайцам мешали неуклюжие обозначения. Когда в конце концов математики стали применять арабские числительные с десятичной запятой, прежние рекорды тут же пали. В 1596 году голландский учитель фехтования Лудольф ван Цейлен, используя метод удвоения, дошел до многоугольника с 60 × 2^>29 сторонами и нашел значение π с точностью до 20 десятичных знаков. Опус, в котором он напечатал свой результат, заканчивался так: «У кого есть охота, пусть подойдет ближе». Он продолжал вычислять и получил число π с точностью до 32 и затем 35 десятичных знаков, каковые и были высечены на его надгробии. В Германии die Ludolphsche Zahl — число Лудольфа, или лудольфово число, — до сих пор допустимо в качестве названия числа π.

В течение двух тысяч лет единственный способ определить значение числа π состоял в использовании многоугольников.

Но в XVII веке Готфрид Лейбниц и Джон Грегори открыли новую страницу в истории числа π, предложив формулу

Другими словами, четвертая часть π равна единице минус одна треть плюс одна пятая минус одна седьмая плюс одна девятая и т. д.: надо попеременно прибавлять и вычитать дроби с единичным числителем и со знаменателем, последовательно равным нечетным числам, устремляющимся в бесконечность. До этого ученые видели в десятичном разложении числа π лишь случайный набор цифр. И вдруг появилось одно из наиболее изящных, ничем не усложненных уравнений во всей математике. Оказалось, что образцовый представитель беспорядка несет некий порядок в своей ДНК.

Лейбниц пришел к этой формуле, используя «анализ» — мощный раздел математики, в котором для вычисления площадей, кривых и наклонов стали применяться новые представления о бесконечно малых величинах. Формула Лейбница представляет собой так называемый бесконечный ряд — сумму, которая продолжается и продолжается без конца. И эта формула дает способ вычислить число