Удовольствие от Х (Строгац) - страница 33
Например, аль-Хорезми рассмотрел квадратное уравнение
x>2 + 10x = 39.
Однако в его время такие задачи формулировались устно, а не в виде уравнений. Он задал вопрос: «Какая площадь при увеличении на десять собственных корней дает 39?» (Здесь термин «корень» относится к неизвестным х).
Эта задача гораздо сложнее, чем те две, которые мы рассматривали выше. Как мы можем выделить х сейчас? Приемы, используемые ранее, неэффективны, так как члены уравнения x>2 и 10x здесь наступают друг другу на пятки. Даже если удастся освободиться от x в одном из них, другой член остается связанным. Например, если мы разделим обе части уравнения на 10, 10x сократится до x (к чему мы и стремились), но x>2 превратится в x>2/10, что нисколько не приближает нас к желаемому результату. Основным препятствием является то, что мы хотим одновременно сделать две, по-видимому, несовместимые вещи.
На предложенном аль-Хорезми решении квадратного уравнения стоит остановиться подробнее. Во-первых, потому что оно блестяще, а во-вторых, потому что оно настолько мощное, что позволяет решать все квадратные уравнения одним махом. Это означает, что, если известные числа 10 и 39 из нашего уравнения поменять на другие, метод все равно будет работать.
Идея аль-Хорезми состоит в том, чтобы представить каждое из слагаемых в уравнении геометрически. Первый член x>2 — это площадь квадрата со стороной x.
Второй член 10x можно рассматривать как площадь прямоугольника 10 на х, или, более изощренно, как площадь двух равных прямоугольников, каждый размером 5 на х. (Разбиение прямоугольника на два меньших готовит почву для основного маневра, который последует далее, — получения полного квадрата.)
Прикрепите два новых прямоугольника к площади x>2 для получения г-образной фигуры x>2 + 10x:
В таком случае головоломка аль-Хорезми сводится к вопросу: если г-образная фигура занимает 39 квадратных единиц площади, то каким должен быть х?
Изображение само по себе неуклонно подталкивает к следующему шагу. Посмотрите на пустой угол. Если бы он был заполнен, то г-образная фигура превратилась бы в идеальный квадрат. Учтем это наблюдение и заполним квадрат.
Помещение в пустой угол квадрата 5 × 5 добавляет 25 квадратных единиц к уже существующей площади х>2 + 10х и в общей сложности дает x>2 + 10x + 25. Это равносильно выражению общей площади в виде (x + 5)>2, так как каждая сторона заполненной площади равна х + 5 единиц.
Между тем, поскольку мы добавили 25 единиц к левой части уравнения x>2 + 10x = 39, для сохранения баланса следует добавить 25 и к его правой части. Так как 39 + 25 = 64, то наше уравнение превращается в