Удовольствие от Х (Строгац) - страница 51
Но одна загадка долго волновала нас. Если вы продолжаете двигаться, находясь на полпути к стене, вы когда-нибудь до нее дойдете? Как-то очень грустно было думать, что ты все ближе и ближе к цели и все же никогда до нее не доберешься. (Наверное, это и есть метафора подростковой тоски по необъяснимому.) Еще одной проблемой было завуалированное присутствие бесконечности. Чтобы добраться до этой стены, следовало сделать бесконечное число шагов, и в конце они были бы бесконечно малой длины. Ух ты![19]
Вопросы, подобные этому, всегда вызывали головную боль. Около 500 года до н. э. Зенон Элейский57 сформулировал четыре парадокса бесконечности, которые озадачили его современников, что, возможно, отчасти послужило причиной изгнания данного понятия из математики на столетия. Например, в евклидовой геометрии рассматривалось только конечное число шагов. Считалось, что бесконечность неопределенна и непознаваема, и ее трудно сделать логически упорядоченной.
Но Архимед, величайший математик античности, осознал мощь бесконечности. Он заставил ее решать задачи, которые в противном случае были бы нерешаемы, и в процессе движения к бесконечности приблизился к изобретению интегрального исчисления — почти за 2000 лет до Ньютона и Лейбница.
В следующих главах мы рассмотрим великие идеи, лежащие в основе исчисления бесконечно малых. Но сейчас я хотел бы начать с первой из красивых идей, встречающихся у древних при вычислении площади круга и числа π.58
Давайте вспомним, что мы подразумеваем под «пи». Это отношение двух расстояний, где одно — диаметр (отрезок между наиболее удаленными точками окружности, проходящий через ее центр), а другое — длина окружности. «Пи» (π) определяется как отношение длины окружности к ее диаметру.
Если вы вдумчивый исследователь, то вас уже кое-что должно насторожить. Откуда мы знаем, что π имеет одинаковое значение для любых окружностей? Может быть, оно различно для больших и маленьких кругов? Ответ на этот вопрос отрицательный, но его доказательство не тривиально. Вот вам интуитивный аргумент.
Представьте, что с помощью ксерокса вы уменьшаете изображение круга, скажем, на 50%. Тогда все расстояния на рисунке, в том числе длина окружности и ее диаметр, тоже уменьшатся на 50%. Итак, когда вы разделите длину новой окружности на ее диаметр, уменьшение на 50% нейтрализуется, и их соотношение останется неизменным. Оно и составляет π.
Конечно, здесь мы не сможем узнать величину π. Простые эксперименты с веревкой и блюдом достаточно хороши, чтобы получить значение около 3 или, если вы хотите более точный результат, 3