Удовольствие от Х (Строгац) - страница 52
Прежде чем перейти к блестящему решению Архимеда, я должен упомянуть еще об одном случае, когда π появляется в связи с кругами. Площадь круга (размер пространства внутри него) вычисляется по формуле
A = πr>2,
где A — площадь круга, π – греческая буква пи, а r — радиус окружности, определяемый как половина диаметра.
Все мы помним эту формулу из средней школы, но откуда она взялась? На уроках геометрии она обычно не доказывается. Если бы мы делали вычисления по ней, то, наверное, смогли бы найти доказательство. Но так ли уж необходимы вычисления, чтобы доказать ее?
Да, необходимы.
Задачу осложняет то, что эти фигуры имеют округлую форму. Если бы они были прямоугольными, проблемы бы не существовало. Найти площади треугольников и прямоугольников легко. А работать с такими изогнутыми формами, как круги, — трудно.
С математической точки зрения можно допустить, что изогнутая форма состоит из большого числа небольших прямоугольных отрезков. Это, конечно, не совсем так, но работает — при условии, что вы доведете их количество до предела, представив бесконечно много бесконечно малых частей. Это важнейшая идея всех вычислений.
Вот один из способов определить площадь круга. Начните с разбиения области на четыре равные части и переставьте их таким образом.
Странная форма с фестонами снизу имеет такую же площадь, как и круг, хотя это построение может показаться бесполезным, так как нам неизвестна площадь ее сегментов. Но по крайней мере мы знаем две важные вещи. Во-первых, две нижние дуги имеют общую длину, равную половине длины окружности исходного круга (потому что другая половина окружности приходится на две дуги сверху). Поскольку длина всей окружности в π раз больше диаметра, то ее половина в π раз больше половины диаметра, то есть радиуса r. Вот почему на рисунке показано, что πr — суммарная длина дуг фестонов в нижней части фигуры. Во-вторых, прямые стороны кусочков имеют длину r, так как каждая из них первоначально была радиусом окружности.
Далее повторим все описанные действия, но на этот раз уже с восемью отрезками круга.
Теперь фигура приобрела менее странную форму. Дуги сверху и снизу по-прежнему существуют, но они не столь ярко выражены. Еще одно усовершенствование: левая и правая стороны изогнутой фигуры стали более вертикальными, чем раньше. Несмотря на все изменения, два факта остаются постоянными: дуги внизу по-прежнему имеют длину πr, а каждая сторона — длину r. И конечно, площадь фигуры та же — это площадь исходного круга, так как это просто фигура, составленная из восьми частей круга.