Удовольствие от Х (Строгац) - страница 85

показывают, сколько простых чисел вы насчитали, пока дошли до данного местоположения x. Для всех x меньше 2 значением на оси y будет 0, поскольку еще не попадались простые числа. Первое простое число появляется на отметке x = 2. И в этом месте график подскакивает вверх. (Попалось!) Затем он остается плоским до отметки x = 3, после чего делает скачок еще на один шаг. Такие чередования прыжков и горизонтальных отрезков образуют странную лестницу неправильной формы. Математики называют ее считающей функцией простых чисел.

Сравните эту картину с аналогичной картиной для нечетных чисел.

Здесь лестница идеально правильная, следуя линии с наклоном ½ — потому что интервал между соседними нечетными числами всегда равен 2.

Есть ли хоть какая-нибудь надежда найти что-нибудь подобное для простых чисел, несмотря на их блуждающий характер? Как это ни удивительно, есть. Ключ к разгадке в том, чтобы сосредоточиться на общей форме линии, а не на отдельных ступенях лестницы. Если мы уменьшим масштаб, из всей этой кажущейся неразберихи начнет вырисовываться кривая. Посмотрите на график функции нахождения всех простых чисел до 100.

Теперь мы меньше отвлекаемся на отдельные ступеньки. Кривая выглядит еще ровнее, если сосчитать все простые числа до миллиарда.

В противоположность первому впечатлению эта кривая не является прямой линией. По мере роста она слегка изгибается книзу. Такой изгиб означает, что простые числа становятся более редкими, изолированными и одинокими. Это то, что Джордано имел в виду, говоря про «одиночество простых чисел».

Такая разреженность кажется еще очевиднее, если посмотреть на данные «переписи» под другим углом. Помните, мы насчитали десять простых чисел среди первых тридцати целых чисел? Таким образом, там, где числовая прямая берет свое начало, примерно одно из трех чисел является целым, что составляет стабильные 33%. Однако среди первой сотни чисел простых только двадцать пять. Их ряды сократились до одного из четырех, составляя уже 25%, что вызывает беспокойство. А среди первого миллиарда чисел простых всего лишь 5%.

И это суровый вестник наклоняющейся кривой. Простые числа похожи на вымирающее поколение. Они никогда не исчезают полностью — со времен Евклида известно, что они никогда не заканчиваются, но почти целиком растворяются в обычных целых числах.

Найдя функции, которые приблизительно соответствуют этой наклоняющейся кривой, теоретики чисел измерили, насколько одиноки простые числа, и выразили в виде формулы типичное расстояние между ними. Если N — большое число, то средний интервал между простыми числами, ближайшими к