— большое число, то средний интервал между простыми числами, ближайшими к N, приблизительно равен lnN, то есть натуральному логарифму от N. (Натуральный логарифм ведет себя так же, как и обычный десятичный логарифм, изучаемый в средней школе, но в его основе лежит число e, а не 10. Он является натуральным в том смысле, что повсюду встречается в высшей математике, входя в окружение числа e. Подробнее о повсеместном использовании числа e читайте в главе 19.)
Хотя формула lnN для вычисления среднего промежутка между простыми числами не слишком хорошо работает для малых N, ее эффективность улучшается при приближении N к бесконечности, где ошибка формулы в процентном соотношении приближается к нулю. Чтобы получить представление об этих числах, допустим, что N = 1000. Выясняется, что существует 168 простых чисел меньше 1000 и что средний промежуток между ними в этой части числовой прямой составляет 1000/68, или примерно 5,9. Для сравнения, согласно формуле средний интервал должен равняться ln(1000) ≈ 6,9, что превышает реальное значение примерно на 17%. Но если мы пойдем дальше, скажем, для N = 1 000 000 000, то реальный и вычисленный по формуле интервалы составят 19,7 и 20,7 соответственно, и разность между ними будет примерно 5%.
Формула lnN, где N стремится к бесконечности, сегодня известна как теорема простых чисел115. Она впервые была записана (но не опубликована) Карлом Гауссом116 в 1792 году, когда ему было всего пятнадцать лет. (Видите, на что способен ребенок, лишенный развлечений в виде игровой приставки?)
Что же касается других молодых людей, о которых шла речь в этой главе, Маттиа и Аличе, то, я надеюсь, вы оценили, насколько это захватывающе, что два простых числа-близнеца117 продолжают существовать в самых далеких пространствах числовой прямой, «в этом молчаливом измеренном пространстве, состоящем только их цифр». Против них ополчилась целая армия нечетных чисел. Согласно теореме простых чисел, любое отдельно взятое простое число, находящееся вблизи N, не имеет права ожидать, что его потенциальный друг приблизится к нему ближе чем на lnN и пропасть между ними намного превышает 2, если N — большое число.
Но все-таки некоторые пары побеждают нечетные числа. Компьютеры нашли простые числа-близнецы в невероятно отдаленных областях числовой прямой. Где-то вдали уютно устроилась самая большая известная пара двух чисел, каждое из которых состоит из 100 355 десятичных цифр.
Согласно гипотезе о простых числах, подобные пары будут появляться всегда.
Так не попробовать ли нам поискать поблизости от этих чисел еще какую-нибудь парочку простых чисел118, чтобы сообразить с ними на четверых? Удачных поисков!