Удовольствие от Х (Строгац) - страница 88

Первое состоит в том, чтобы ничего не делать, — отличный выбор для лентяев, предпочитающих не трогать матрас. Несомненно, такое преобразование удовлетворяет всем правилам, однако вряд ли продлит жизнь матраса. Тем не менее чрезвычайно важно включить его в группу. Оно играет в теории групп такую же роль, как 0 в сложении чисел и 1 в умножении. Математики называют его нейтральным (или единичным) элементом, я обозначу его символом I.

При следующих трех способах действительно придется переворачивать матрас. Чтобы различать их, приклеим на углы матраса этикетки с номерами.

Картинка, на которой изображен первый способ переворачивания, находится в начале главы. На ней симпатичный мужчина в полосатой пижаме пытается перевернуть матрас на 180 градусов. Этот горизонтальный переворот обозначим как H.

Вертикальный переворот обозначим как V. При этом маневре матрас сначала находится в вертикальном положении, так что почти достает до потолка, а затем опрокидывается на другую сторону. Помимо грохота, который вы наделаете, чистым результатом вашего действия станет поворот матраса на 180 градусов вокруг поперечной оси, как показано ниже.

Наконец, можно повернуть матрас на пол-оборота, не поднимая его с кровати.

В отличие от переворачиваний H и V, при повороте R верхняя поверхность матраса остается вверху.

Теперь посмотрим на матрас, чтобы понять, в чем разница между его переворотами. Представим себе, что он полупрозрачный, взглянем на него сверху и проверим числа в углах матраса после каждой из возможных трансформаций. При горизонтальном переворачивании получаем зеркальное отражение чисел. Они тоже изменили порядок, поскольку числа 1 и 2 и 3 и 4 поменялись местами.

При вертикальном переворачивании порядок чисел тоже изменился, но по-другому: они, помимо своего зеркального отражения, еще и перевернулись вверх тормашками.

При вращении зеркального отражения не получается, а числа повернулись кверху вниз, и там, где была 1, теперь 4, а вместо 2 появилось 3.

Однако это лишь детали. Самое главное — как эти преобразования соотносятся друг с другом. В схемах их взаимодействия зашифрована симметрия матраса.

Чтобы выявить их с минимальными усилиями, нарисуем следующую диаграмму.

В углах схемы изображены четыре возможных положения матраса. Картинка в левом верхнем углу является точкой отсчета. Стрелка указывает на движения, совершаемые матрасом при переходе из одного положения в другое.

Например, стрелка, ведущая из верхнего левого угла к нижнему правому, описывает вращение R. Она двусторонняя, поскольку, если выполнить действие