дважды, это будет равносильно возврату в исходное положение.
Данное свойство поворота можно описать уравнением RR = I, где RR означает «дважды выполнить действие R», а I является нейтральным элементом, означающим отсутствие действия. При горизонтальном и вертикальном переворачивании тоже происходит отмена этих преобразований: HH = I и VV = I.
На схеме также представлено много другой информации. Например, здесь показано, что рискованное вертикальное переворачивание V эквивалентно действию HR, горизонтальному переворачиванию, сопровождаемому поворотом. Этот путь к аналогичному результату гораздо безопаснее. Данную последовательность действий можно записать в виде уравнения HR = V122.
Следует также отметить, что порядок выполнения действий не имеет значения, поскольку HR = RH, и оба пути ведут к V. Это верно для любой другой пары действий. Вы можете подумать, что это подобно коммутативному (переместительному) закону для сложения обычных чисел x и y, согласно которому x + y = y + x. Однако будьте внимательны: группа в примере с матрасом — особый случай. Во многих других группах коммутативный закон нарушается. Подчиняющиеся ему группы-счастливчики будут особенно понятными и простыми.
А теперь итоги. Эта схема показывает, как добиться наиболее равномерного изнашивания матраса. Любая стратегия, примененная для всех четырех состояний, будет периодически работать. Например, чередование действий R и H удобно, а поскольку у нас есть возможность миновать шаг V, то нам не требуется много физических усилий. Чтобы напомнить о необходимости выполнять эти действия, некоторые производители дают такой совет: «весной — поворот, осенью — переворот».
Группа чисел, свойственная матрасу, иногда всплывает в самых неожиданных местах, начиная от симметрии молекул воды и заканчивая принципами действия пары электрических переключателей. В этом и состоит прелесть теории групп. Благодаря ей становится очевидным единство вещей, которые в других случаях кажутся не связанными между собой — как в анекдоте о том, как физик Ричард Фейнман получил отсрочку от призыва в армию123.
Армейский психиатр попросил Фейнмана вытянуть вперед руки. Тот выполнил просьбу, выставив одну руку ладонью вверх, а вторую ладонью вниз. «Нет, по-другому», — сказал психиатр. Тогда Фейнман перевернул обе руки так, что одна ладонь опять оказалась вверху, а вторая внизу.
Фейнман не играл в игры разума, а просто решил немного пошутить в духе теории групп. Если рассмотреть все возможные способы вытягивания рук, а также различные переходы между ними, то стрелка образует такую же модель, как и в группе чисел матраса!