, в которой у
m и
n нет общих делителей, и они ни в коем случае не четные одновременно. Доказательство производится в три этапа. Первый: заметим, если
с 2 = 2, значит,
m 2 = 2
n 2. Словами:
m 2 – четное число. Поскольку квадраты нечетных чисел – нечетные, значит, и
m само по себе должно быть четным. Второй: поскольку
m и
n не могут быть оба четными, значит,
n должно быть нечетным. Третий: взглянем на уравнение
m 2 = 2
n 2 с другой стороны. Поскольку
m – четное, его можно записать как 2
q , при любом
q . Если заменить
m в
m 2 = 2
n 2 на 2
q , получим 4
q 2 = 2
n 2, что то же самое, что и 2
q 2 =
n 2. Это означает, что
n 2, а следовательно, и
n – четное.
Мы только что доказали, что если с можно записать как с = m/n , то m есть нечетное, а n – четное. Получается противоречие, а значит, исходное допущение, что с можно записать как с = m/n , – ложное. Такого рода доказательства, когда мы допускаем отрицание того, что стремимся доказать, а потом показываем, что отрицание ведет к противоречию, называется reductio ad absurdum . Это одно из изобретений пифагорейцев, и поныне полезное для математики.
42
Muir, стр. 12–13.
43
Kramer, стр. 577.
44
Gorman, стр 192–193.
45
Спиноза, знаковый философ XVII века, писал «Этику» – свой главный труд – в стиле евклидовых «Начал», вплоть до определений и аксиом, с помощью которых, как он считал, строго доказывал теоремы. См. также «Историю западной философии» Бертрана Расселла: Bertand Russell, A History of Western Philosophy (New York: Simon & Schuster, 1945), стр. 572. Авраам Линкольн, еще будучи никому не известным юристом, изучал «Начала» с целью улучшить свои навыки логики, см.: Hooper, стр. 44. Кант читал евклидову геометрию неотъемлемой частью человеческого мозга, см. Расселл. [На рус. яз.: Бенедикт Спиноза, «Этика», М., СПб, Азбука, Азбука-Аттикус, 2012, пер. Я. Боровского, Н. Иванцова; Бертран Рассел, «История западной философии», М.: Академический проект, 2009, пер. В. Целищева. – Прим. пер. ]
46
Heath, стр. 354–355.
47
Kline, стр. 89–99, 157–158.
48
Heath, стр. 356–370, см. также: Hooper, стр. 44–48. В 1926 году Хит лично продолжил историю «Начал», опубликовав свое издание, перепечатанное издательством «Доувер»: Sir Thomas Heath. The Thirteen Books of Euclid’s Elements (New York: Dover Publications, 1956).
49
«Мальтийский сокол» (1930) – детектив-нуар американского писателя Сэмюэла Дэшилла Хэммета (1894–1961). – Прим. пер.
50
Kline, стр. 1205.
51
«Let’s Make A Deal» – американская телевикторина телеканала «Эн-би-си», транслировавшаяся с 1963 по 1968 гг. –