Неевклида проверяет выполнение теоремы Пифагора:
...
Сумма квадратов катетов: 209
Квадрат гипотенузы: 209
Для достаточно маленьких треугольников все получается. У Неевклиды в голове уже созревают зачатки неевклидовой геометрии, и она отправляет своих учеников в еще одну, последнюю экспедицию.
На сей раз Алексею и Николаю предстоит пройти по морю от Нью-Йорка до Мадрида (40° СШ, 04° ВД), т. е. практически строго на восток. Этот путь им нужно проделать не единократно, всякий раз слегка меняя маршрут и измеряя точную протяженность пути. Их задача, как некогда у Колумба, – выявить кратчайшее расстояние между этими заданными точками, или обнаружить геодезическую прямую. Работа эта – на несколько лет, но статья, которую потом можно опубликовать, обещает настоящий фурор.
Если плыть по прямой от Нью-Йорка до Мад рида, т. е. строго вдоль линии широты, выйдет ли маршрут кратчайшим? Нет. Оказывается, нужно плыть вдоль странной кривой, обозначенной на карте, сначала направляясь на северо-восток, а потом постепенно сворачивая на юг, покуда курс не выровняется на юго-восток. Той же траекторией катится шар для боулинга, если ничто ему не мешает, и мигрируют некоторые гениальные птицы [170] , например, американские ржанки или таитийские кроншнепы. Так же натягивали от точки к точке веревку и двухмерные египетские умельцы-строители.
Все это легко понять, если представить, как выглядит Земля из космоса. «Строго на восток» в странствиях по глобусу не реализуется, поскольку направления «север» и «восток» – не фиксированные. При перемещении из Нью-Йорка в Мадрид направления, называемые «на восток» или «на север», вращаются в трехмерном пространстве. Кратчайшая траектория между Нью-Йорком и Мадридом – или между любыми другими двумя точками на земном шаре – кривая, называемая большим кругом (это круг на земном шаре, центр которого совпадает с центром Земли; это самые большие окружности, какие можно изобразить на земной поверхности, отсюда и название). Большие круги – аналоги линий Пуанкаре во вселенной Пуанкаре, линии, которые мы по привычке называем прямыми, и они выполняют роль прямых в евклидовых аксиомах. Линии широт – большие круги, равно как и экватор, но лишь он – кривая с постоянной широтой (центры всех остальных кругов с постоянной широтой располагаются выше или ниже по оси Земли).
Нью-Йорк – Мадрид
Вид из космоса местным вроде Неевклиды не ведом. Для нее «центра Земли» не существует, а также не существует «космоса», и Гаусс доказал, что такое возможно. Неевклида, воодушевленная результатами Алексея и Николая, заключила бы, что пространство, в котором она живет, – неевклидово: не гиперболическое, а похожее на поверхность шара, т. е. эллиптическое.