Гравитация. От хрустальных сфер до кротовых нор (Петров) - страница 45

свойства псевдоевклидовых пространств оказались весьма полезными для описания СТО.

Рис. 5.3. Переход к другой инерциальной системе на диаграмме пространства Минковского

Эффекты сокращения длины, замедления времени, сложение скоростей в СТО являются следствием лоренц-инвариантности. Остановимся на первых двух. Рассмотрим линейку, собственная длина которой l_>0 – это длина в ее системе покоя. Пусть система покоя для выбранной линейка – это система K’, которая движется относительно нас (системы K) со скоростью V. Тогда, если концы линейки имеют координаты

x_>1′ и x_>2′, то l_>0 = x_>2′ – x_>1′.

Определим длину этого отрезка с точки зрения наблюдателя системы K. Для этого нужно в один и тот же (!) момент времени t определить координаты концов линейки x_>2 и x_>1 в системе K. Тогда для нас длина линейки буде иметь величину l = x_>2 – x_>1. Чтобы определить каждое из значений x_>2 и x_>1 через соответствующие штрихованные координаты используем первую часть преобразований Лоренца (Б) каждый раз с одним и тем же значением t. Затем составим разницу и получим

, то есть для нас (покоящейся системы K) движущаяся линейка становится короче.

Подтвердим вывод о замедлении времени. Находясь в системе K, будем отслеживать ход часов в системе K′, которые находятся в точке x′. Для нас часы в системе K идут одинаково во всех точках, поэтому часы системы K′ можно сравнивать с любыми нашими. Не теряя общности, можно предположить, что x′ = 0 и моменты первого сравнения в обеих системах также нулевые: t_>1′ = t_>1 = 0. Вопрос в том, как начнут разниться показания в любой следующий момент сравнения t_>2 (а для системы K′ – t_>2′). Теперь удобнее использовать вторую часть преобразований Лоренца (А). Получаем

 . Как видно, показания часов в нашей системе K будут больше, чем в K′, хотя в обоих случаях отсчет начинался с нуля. Таким образом, движущиеся часы идут медленнее.

На этом этапе важно сделать замечание. Мы все больше убеждаемся, что пространство и время физически объединены в единое целое – пространственно-временной континуум. Действительно, и пространственные, и временные координаты участвуют в единых преобразованиях; инвариантная величина интервал построена как из временных промежутков, так и из пространственных отрезков. Несмотря на это, и пространство, и время сохраняют свою физическую сущность – протяженность и длительность. Формально это различие состоит в том, что временная часть входит в интервал со знаком «плюс», а пространственная – со знаком «минус».

Мы уже отметили, что квадраты интервалов могут быть положительными, нулевыми и даже отрицательными. Для положительных – временная часть превосходит пространственную, и они называются