Под «числами» Пифагор подразумевал простые целые числа и дроби или «пропорции», полученные при делении одного целого числа на другое, типа >3/>4, >11/>9, >6/>25 и т. д. Все они – целые числа и дроби – называются рациональными числами.
На тот момент, когда Пифагор утверждал, что «все сущее есть число», это были единственные известные числа, придуманные или найденные. Из этого великого обобщения вытекало, что и сторона, и диагональ любого квадрата выражаются рациональными числами. Но вскоре было доказано, что, если сторона квадрата выражается (рациональным) числом, диагональ того же самого квадрата не может быть выражена любым (рациональным) числом. Это разрушало чрезмерно простое обобщение, что все сущее является числом.
Сегодня суть этого формулируется так: «Квадратный корень из двух является иррациональным числом». Где был квадратный корень из двух прежде, чем его обнаружили пифагорейцы? Существовало ли это «число» в природе только для того, чтобы его нашел Пифагор или его ученики? Или оно было изобретено великими математиками, которые появились после Пифагора? Эти математики, особенно Евдокс (прославившийся около 370 года до н. э.), разработали математическую теорию «величин» (таких, как длина, площадь и объем), которая давала четкое объяснение существования «величин», необходимых для измерения любой конечной длины.
Иррациональность квадратного корня из двух была сформулирована как «диагональ и сторона квадрата несоизмеримы». Но для придания безукоризненности своим логическим рассуждениям Евдокс и его преемники вынуждены были от математически конечного перейти к математически бесконечному и от исчисляемого к неисчислимому. Были ли их логические построения обнаружены, или они их придумали? И было ли понятие бесконечного изобретением человека, или действительно это было открытие чего-то, что существовало еще до того, как наша планета достаточно остыла, чтобы на ней могла существовать жизнь, что продолжит существовать и тогда, когда на Земле исчезнет жизнь?
Какими бы ни были ответы на эти вопросы (если это не риторические вопросы и на них действительно существуют ответы), одно является бесспорным: открытие, связанное с диагональю квадрата со сторонами, выраженными рациональными числами, оказалось роковым для азбучного обобщения, которое сводило мироздание до рациональных чисел. В числовом смысле вселенная проявила себя иррациональной. (К несчастью, термин «иррациональный» имеет два общепринятых значения, уместные при обсуждении философии Пифагора. Когда «иррационально» используется в смысле «противоположный разумному», это означает отрицательную оценку; когда «иррационально» относится к числам, это означает «в числовой форме иррациональный».) Вплоть до нашего времени почтенные ученые не позволяли себе подвергать сомнению традиционную точку зрения относительно рациональности «законов» природы. Мы еще остановимся на этом, когда дойдем до рассказа о последнем величайшем предвидении Пифагора, в котором он пробрался через ад своего собственного воображения. Здесь же достаточно только отметить, что подобное сомнение неявно в вопросах относительно рациональности логики, применяемой для рационального объяснения числовой нелогичности некоторых чисел.