Парадоксы роста. Законы глобального развития человечества (Капица) - страница 71
Такое выделение главных переменных N и T и их усреднение характерно для системного подхода. Оно получило развитие в синергетике и лежит в основе асимптотических методов, разработанных для решения задач большой сложности, появляющихся при рассмотрении систем со многими степенями свободы. Существенно то, что эти переменные, которые представляют все социально значимые факторы о возрасте и поле, образованию и развитию, доходам и т. д., описываются статистическими распределениями. Поэтому, когда рассматриваются такие многофакторные проблемы, то можно полагать, что в известных пределах развитие системы статистически стационарно и потому происходит динамически самоподобно. Это сильное предположение означает, что остаются неизменными пропорции между относительными изменениями времени и населения.
Смысл этой основной гипотезы автомодельности состоит в том, что утверждается постоянство относительной скорости изменения системы аналогично принципу инерции. В данном случае можно показать, что такой самоподобный рост должен описываться степенной функцией без характерного параметра, такого как масштаб времени. Такие процессы обладают масштабной инвариантностью – скейлингом – аналогично развитой турбулентности в потоке жидкости. Эти понятия мало знакомы историкам и обществоведам, однако они должны помочь в расширении тех образов, которыми мы описываем исторический процесс.
В книге показано, как данные демографии мира приводят к формуле (1):
При обращении к формуле (1) задача теории в первую очередь состоит в установлении пределов ее применимости как вблизи особенности, когда эта функция устремляется в бесконечность, так и в далеком прошлом, когда ее уменьшение происходит слишком медленно. Иными словами, асимптотика ограничена в прошлом нулем и полюсом в настоящее время.
Чтобы описать переход, следует учесть время, характеризующее внутренние процессы, определяемое продолжительностью жизни человека и его репродуктивной деятельности – теми факторами, которые при прохождении через демографический переход ограничивают скорость роста по мере приближения к моменту, когда скорость роста приближается к своему пределу. Для этого следует обратиться к выражению для скорости роста в зависимости от времени, продифференцировав (1):
и затем ввести в это расходящееся выражение характерное время, ограничивающее скорость роста:
Этот прием может показаться произвольным шагом. Однако здесь мы обратились к методам, которые развиты для регуляризации расходимостей, появившихся в сингулярности роста. Полученное выражение очень хорошо описывает сингулярность глобального демографического перехода, поэтому, интегрируя (3), получим выражение для описания самого перехода и имеющего степенную асимптотику: