Том 19. Ипотека и уравнения. Математика в экономике (Арталь, Салес) - страница 22
Задача решается следующим образом:
10/х = 55/40∙6/8∙320/440
х = 10∙440/320∙8/6∙40/55 = 13,3 дня = 13 дней 8 часов.
Греческая буква Σ (заглавная сигма) очень часто используется в математических формулах экономической теории и обозначает сумму слагаемых. Например, для обозначения суммы x>1 + х>2 + х>3 + х>4 можно использовать выражение Σ >4>i=1 x>i
Знак Σ перед х>i означает, что нужно сложить все значения х. Числа, указанные под буквой Σ и над ней, обозначают границы суммы, то есть наибольшее и наименьшее значение индекса, которое используется при сложении.
Сумма Σ >6>k=3 x>k означает х>3 + х>4 + х>5 + х>6,
Cумма Σ >n>j=m x>j означает х>m+ х>m+1 … + х>n-1 + х>n.
Индексы могут принимать только целые значения, а нижний индекс может быть обозначен любой буквой.
Так, Σ >m>i=1 x>i = Σ >m>j=1 x>j = Σ >m>k=1 x>k
Член, следующий за буквой Σ, называется слагаемым. В выражении Σ >m>k=1 x>k слагаемыми являются х>k.
* * *
УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА
Уравнение — это математическое равенство с одной или несколькими неизвестными величинами.
Уравнение обращается в верное равенство лишь при определенных значениях этих неизвестных. Неизвестная в уравнениях может быть возведена в квадрат или в куб.
Например, х + 12 = 25 — Зх — уравнение первой степени, 12 + х>2 — 6х = 3 — уравнение второй степени, 9 — Зх>2 — 6х>3 = -12 — уравнение третьей степени.
В XIII веке Леонардо Пизанский решал задачи, подобные следующей: у ювелира есть золото 975-й пробы и золото 750-й пробы, и он хочет получить слиток золота 900-й пробы весом в два килограмма.
Сколько золота каждой пробы потребуется для этого? Эта задача решается так:
х кг вес золота 975-й пробы
(2 — х) кг вес золота 750-й пробы
х∙0,975 + (2 — х)∙0,750 = 2∙0,900
х∙0,975 + 2 0,750 — 0,750∙х = 1,800
х∙0,975 — 0,750х = 1,800 — 2∙0,750
х∙0,225 = 1,800 — 1,500
х∙0,225 = 0,300
х = 0,300/0,225 = 4/3 = 1 1/3 кг золота 975-й пробы
(2 — х) = 2 – 1 1/3 = 2/3 кг золота 750-й пробы.
Фибоначчи также сформулировал и решил задачи, описываемые уравнениями второй степени, подобные следующей: площадь прямоугольного поля равна 2400 м>2 Известно, что его длина на 20 м больше ширины. Вычислите размеры поля. Таким образом, произведение ширины (х) на длину (х + 20) равно 2400 м>2. Стандартное уравнение второй степени выглядит так: ах>2+ Ьх + с = 0. Значение неизвестной х можно вычислить по формуле:
В этом случае:
х∙(х + 20) = 2400; х>2 + 20х = 2400; х2 + 20х — 2400 = 0.
Таким образом, поле имеет размеры 40 х 60 м.
Неравенства похожи на уравнения, однако вместо знака равенства (-) содержат один из четырех возможных знаков неравенства: