Ньютон. Закон всемирного тяготения. Самая притягательная сила природы (Дуран Гуардено) - страница 47
«В дальнейшем я буду называть флюентами, или текущими величинами, величины, которые я рассматриваю как постепенно и неопределенно возрастающие; обозначать я их буду последними буквами алфавита u, у, х и z, чтобы их было возможно отличать от других величин, которые рассматриваются в уравнениях как известные и определенные и которые поэтому обозначаются первыми буквами алфавита а, b, с и т.д. Скорости, с которыми возрастают вследствие порождающего их движения отдельные флюенты (и которые я называю флюксиями, или просто скоростями или быстротами), я буду обозначать теми же буквами, но пунктированными, например v', х', у', z'».
Чтобы продемонстрировать потенциал своего анализа бесконечно малых, Ньютон применил его в работе «О методе» (De methodis) при решении почти всех задач о расчете площадей, касательных, кривых, объемов или расстояний, максимальных и минимальных величин, центров тяжести и рассмотрении других вопросов, которые занимали умы его предшественников в течение почти века. В работе «О методе» (De methodis) очевиден вклад Ньютона в открытие анализа: он четко определил понятия флюенты и флюксии как элементов теории, дал простые алгоритмы для расчета флюксии флюенты, а также привел примеры задач, которые новые понятия позволяют решить. Это разграничение абстрактных элементов теории и ее конкретного применения для решения колоссального количества задач позволяет признать за Ньютоном – и Лейбницем – открытие анализа.
Одно из многочисленных применений анализа бесконечно малых – это определение максимальных и минимальных значений функции, фундаментальных, к примеру, для процессов оптимизации в технике. Сравним кривую, описанную функцией у = х³ -3х.
Ясно, что у функции есть абсолютный минимум и максимум. Если проследить за ней слева, кривая стремится к бесконечности вниз; если справа, кривая идет к бесконечности вверх. Максимальное и минимальное значения, соответственно, +oo и -oo.
Но вместе с этими абсолютными значениями есть другие точки кривой, которые являются максимальными и минимальными точками, а именно:
(-1; 2) и (1; -2). Метод анализа бесконечно малых Ньютона позволяет легко определить такие точки, опираясь на понятие производной. Одним из свойств производной является то, что ее значение в заданной точке – то же, что и значение наклона касательной к функции в той же точке. Однако в точке максимума или минимума касательная является горизонтальной прямой и ее наклон равен нулю.
Следовательно, производная функции в указанной точке тоже будет равна нулю. В нашем примере f(x) = х³ -3х, производная f'(x) = 3х² -3. Соответственно, нас интересуют значения х, при которых выполняется равенство 3х² -3 = 0. Как и можно было ожидать, мы получим значения х = 1 и х = -1.