Гейзенберг. Принцип неопределенности. Существует ли мир, если на него никто не смотрит? (Фаус) - страница 34

Странное правило умножения, описанное Гейзенбергом, сбило Борна с толку. Он обдумывал новую модель несколько дней и наконец понял, что уже видел это правило, когда изучал математику в университете: таблицы Гейзенберга соответствовали матрицам, произведение которых не обладает коммутативностью. После того как Борн убедился в правильности рассуждений Гейзенберга, он отправил рукопись в «Физический журнал», где она была опубликована в сентябре 1925 года.

Вместе с новым ассистентом Паскуалем Йорданом Борн изложил теорию Гейзенберга на языке матриц. В объемной статье исследователи объяснили матричные методы и адаптировали их к квантовой физике. Кроме того, они переопределили переменные и функции классической механики с помощью квантовых матриц и обнаружили матричные аналоги почти для всех уравнений механики. Взяв за основу абстрактные матричные выражения, Борн и Йордан получили формулы расчета энергии стационарных состояний. Все это позволило «ожидать, что на основе новой теории будут сформулированы четкие физические законы». Борн и Йордан обнаружили крайне любопытное соотношение между матрицами, обозначающими положение и импульс частицы. Напомним, что импульс равен произведению массы на скорость, и в классической механике высокого уровня использовать импульс удобнее, чем скорость. Как правило, положение частицы и ее импульс обозначаются буквами q (вместо х, которую мы использовали до этого) и р соответственно. Обозначив соответствующие матрицы заглавными буквами, Борн и Йордан записали найденное ими соотношение следующим образом:

Q•P-P•Q = ihI,

где i = sqrt(-1) – мнимая единица, h = h/2π – редуцированная постоянная Планка, I- единичная матрица. Элементы единичной матрицы, расположенные на главной диагонали, равны единице, все прочие – нулю. Это соотношение любопытно тем, что в нем присутствует число i. Оно было описано в XIX веке Коши и Гауссом и иногда используется в физике для упрощения некоторых формальных расчетов, однако в этой формуле мнимая единица появилась совершенно неожиданно, и в этом – еще одна особенность квантовой механики.

Матрица – это таблица с числами, которые обозначаются двумя индексами: первый указывает строку, в которой находится число, второй – столбец. К примеру, квадратная матрица из двух строк и двух столбцов выглядит так:

Сложение и вычитание матриц интуитивно понятны: для этого нужно почленно сложить или вычесть элементы исходных матриц. Произведение матриц рассчитывается по особому правилу:

При умножении матриц порядок множителей, в общем случае, влияет на конечный результат. К примеру, произведения матриц