Гейзенберг. Принцип неопределенности. Существует ли мир, если на него никто не смотрит? (Фаус) - страница 9

Простейшим атомным спектром является спектр атома водорода – он содержит всего четыре луча в видимой части. Длины волн этих лучей были измерены в 1884 году шведским ученым Андерсом Ангстремом. В следующем году в исследовании принял участие Иоганн Бальмер, швейцарский учитель математики, который преподавал в технических школах и женских учебных заведениях Базеля. Спустя более 20 лет после защиты докторской диссертации Бальмер получил хабилитацию, а с ней – право преподавать в университете. Ученый не раз говорил друзьям и коллегам, что если ему дадут любой ряд чисел, то он сможет найти формулу, связывающую их. Один из коллег предложил ему недавно полученные результаты измерений спектра водорода, и Бальмер справился с задачей. Его открытие вызвало еще больший интерес, когда другие ученые обобщили результат Бальмера и смогли полностью описать атомный спектр водорода. Спектральные «штрихкоды» постепенно начали упорядочиваться. Частоты спектральных линий пропорциональны обратным квадратам двух целых чисел. Описывающее их математическое выражение, известное как формула Ридберга, выглядит так:

где m и n – два целых числа (m < n), R – постоянная Ридберга.

Однако формула Бальмера не имела под собой никакой научной основы. Теперь расскажем, какую роль в зарождении квантовой физики сыграли целые числа.

Каким образом Бальмер получил свою магическую формулу? Отправной точкой послужили четыре длины волны, выраженные в нанометрах:

656,21: 486,07 : 434,01: 410,12.

Сначала разделим все числа на наименьшее из них. Не будем записывать все десятичные знаки после запятой и приведем округленные результаты деления:

1,6:1,185:1,058:1.

Двоеточия означают, что речь идет об отношениях чисел. Теперь нужно как-то записать эти числа в виде рациональных дробей, то есть как частные двух целых. Предприняв несколько попыток, вы увидите, что если мы умножим все четыре числа на 9/8, то получим:

9/5:4/3:25/21:9/8.

Было бы удобнее, если бы знаменатели располагались в порядке возрастания. Для этого умножим второе и четвертое число на 4/4, то есть на 1. Новый ряд чисел будет выглядеть так:

9/5; 16/12; 25/21; 36/32.

Видите ли вы какую-либо закономерность, связывающую эти числа? От Бальмера не ускользнул тот факт, что их числители являются квадратами последовательных целых чисел (3,4,5,6), а знаменатели равны числителям, уменьшенным на 4, что можно записать как 2 в квадрате. Подведем итог: если каждой линии спектра поставить в соответствие целое число n, то длины волн будут пропорциональны дроби n²/(n² -2² ), где n принимает значения 3, 4 и так далее. Читатель может убедиться, что коэффициент пропорциональности равен 364,56 нм. Это выражение представляет собой всего лишь результат игры с числами, однако, как предположил Бальмер, его можно записать для других линий спектра, заменив 2² квадратами следующих целых чисел. Если рассмотреть частоты, которые, как известно, обратно пропорциональны длинам волн, то, с точностью до постоянного коэффициента, они будут описываться членами ряда 1/2² -1/n² .