Красота в квадрате (Беллос) - страница 118

(от англ. imaginary — «мнимый») и доказал, что квадратный корень из любого отрицательного числа может быть выражен в виде величины, кратной i [8]. Например, √–4 равно 2i, поскольку √–4 = (√4 × – 1) = √4 × √–1 = 2 × i = 2i. В общем виде это можно записать так: √–n = (√n)i. Квадратные корни из отрицательных чисел (которые представляют собой величины, кратные i) известны под общим названием «мнимые числа».

Числа, не относящиеся к категории мнимых, называются действительными числами. Они действительные потому, что находятся на числовой оси, а значит, мы можем увидеть, что они и правда там есть. Числа 2, 3, 5, – 4 и π — действительные числа, а 2i, 3i, 5i, –4i и πi — мнимые. На самом деле множество мнимых чисел — это своего рода зеркальное отражение действительных чисел. Каждому действительному числу m соответствует мнимое число mi.

Когда действительное число прибавляется к мнимому, такая гибридная форма, как 3 + 2i, называется комплексным числом. Все комплексные числа имеют форму a + bi, где a и b — действительные числа, а i — это √–119. Поскольку прибавить действительное число к мнимому в общепринятом смысле нельзя, знак плюс используется исключительно для разделения двух частей числа. Считается, что комплексное число — это одно число, состоящее из двух частей — действительной и мнимой. Если действительная часть равна нулю, тогда все число мнимое; если мнимая часть равна нулю, тогда число действительное.

Значение концепции числа, используемой поначалу для подсчета физических объектов, было расширено посредством введения понятия отрицательных, а затем и мнимых чисел. В связи с этим возник закономерный вопрос о том, создаст ли алгебра еще более абстрактную категорию чисел. Например, что представляет собой квадратный корень квадратного корня из минус единицы? Если всерьез задуматься об этой концепции, сперва она перевернет ваш разум вверх дном, а затем вывернет наизнанку. Речь идет о решении уравнения:

или:

что эквивалентно:

x^>2 = i

Поражает тот факт, что решение этого уравнения представляет собой комплексное число20 [9]:

В XVIII веке математики поняли, что применение мнимых чисел позволяет решить любое уравнение. Это вывод оказался настолько важным, что его стали позиционировать как основную теорему алгебры. Уравнение, записанное с помощью комплексных чисел, всегда имеет решение в виде комплексных чисел. Дверь, в которую вошел Рафаэль Бомбелли, для того чтобы изучить квадратные корни отрицательных чисел, оказалась дверью в изолированную комнату. Но что это была за комната! Болезненные чувства, испытываемые математиками по отношению к мнимым числам, уступили место радости. В настоящее время концепция числа