и
y. В алгебре вопрос «Какое число, прибавленное к двум, дает ноль?» может быть выражен в виде задачи — найти
x, когда:
x + 2 = 0
Ответ такой: x = −2. Независимо от того, считаете вы отрицательные числа имеющими смысл или нет, значение −2 — решение этого уравнения. Именно благодаря алгебре европейские математики эпохи Возрождения в конце концов включили отрицательные числа в определение числа. Какими бы абсурдными они ни казались, это все же были числа.
Вскоре алгебраисты столкнулись с еще одной проблемой. Пользуясь только положительными и отрицательными числами, а также четырьмя арифметическими операциями, такими как сложение, вычитание, умножение и деление, они обнаружили концепцию, которую не могли понять. Это было решение уравнения:
x>2 = –1
Ответ — квадратный корень из минус единицы, или х = √−1. Однако вот в чем проблема: какое число, умноженное само на себя, может быть отрицательным? Это точно не положительное число, поскольку произведение двух положительных чисел — положительное число. Это и не отрицательное число, так как произведение двух отрицательных чисел — тоже положительное число. Первым отрицательные корни уравнений использовал Джероламо Кардано в 1545 году [7]. По его собственным словам, размышления о них приносили ему «умственные мучения», что неизбежно произойдет с каждым, кто еще не сталкивался с данным понятием. В итоге он просто проигнорировал его, заявив, что если решение уравнения — квадратный корень из отрицательного числа, то это «изящно не в меньшей степени, чем бессмысленно». Кардано открыл дверь в новый мир математики, а затем снова захлопнул ее.
Через несколько десятилетий соотечественник Кардано Рафаэль Бомбелли снова открыл эту дверь и робко вошел в нее. Квадратные корни из отрицательных чисел появлялись в алгебраических вычислениях все чаще и чаще, поэтому Бомбелли решил обращаться с ними как с положительными и отрицательными числами, складывая их, вычитая, умножая и деля при каждом их появлении. «Многие считали, что это безумная мысль, — писал он. — Создавалось впечатление, что вся эта область опирается на софистику, а не на истину». И все же квадратные корни из отрицательных чисел были не просто удобны, а давали возможность решать уравнения, которые раньше считались нерешаемыми. Если не задумываться о том, что значат квадратные корни из отрицательных чисел, они вполне могли вписаться в общую систему.
В 1637 году Рене Декарт назвал квадратные корни из отрицательных чисел «мнимыми», а столетие спустя Леонард Эйлер закрепил это понятие: «Все выражения типа √–1, √–2 и т. д. — это невозможные, или мнимые числа, поскольку они представляют собой корни из отрицательных чисел. В отношении таких чисел мы можем, в сущности, утверждать, что они не являются ни ничем, ни больше чем ничто, ни меньше чем ничто, а это неизбежно делает их мнимыми или невозможными». Эйлер обозначил число √–1 специальным символом