Красота в квадрате (Беллос) - страница 124

Теперь давайте рассмотрим точку на комплексной плоскости с координатами (–1, 0), которая представляет комплексное число –1 + 0i, или просто −1. Как показано на рисунке ниже, эта точка находится на расстоянии в 1 единицу от начала координат под углом в π радиан, а значит, мы можем записать ее как e^>iπ.

Мы с вами заново открыли тождество Эйлера! Формула, описывающая позицию точки −1 на комплексной плоскости, выглядит следующим образом:

–1 = e^>iπ

Это уравнение можно преобразовать в такую форму:

e^>iπ + 1 = 0

Кроме того, поскольку точка i расположена на расстоянии в 1 единицу от начала координат под углом π/2 радиан к горизонтали, мы можем сделать вывод, что i = e^>iπ/2, а так как −i находится на расстоянии в 1 единицу от начала координат под углом 3π/2 радиан, напрашивается вывод, что −i = e^>3iπ/2.

Сделайте глубокий вдох. Сейчас мы используем эту информацию, чтобы ответить на потрясающий вопрос, который еще несколько страниц назад мог бы показаться полным бредом, граничащим с безумием: что представляет собой i^>i, или квадратный корень из минус единицы в степени квадратный корень из минус единицы?

Поскольку мы знаем, что e^>iπ/2 = i, мы знаем также, что:

Здесь i исчезает, оставляя после себя такое число, которое поняли бы даже древние греки. Только представьте себе!

Комплексная плоскость позволяет забыть беспокойную мысль о том, что i — это квадратный корень из отрицательного числа. Мы должны помнить только то, что комплексное число a + bi представляет собой точку на плоскости с координатами (a, b), где a и b — действительные числа, а также что сложение или умножение этих координат подчиняется определенным правилам. (Разумеется, эти правила основаны на свойствах квадратного корня из минус единицы, но сейчас нас должно интересовать не то, как они появились, а в чем их суть.) Вскоре математики задумались над тем, можно ли создать такие же правила для трехмерной системы координат, что позволило бы описывать вращения в пространстве подобно тому, как правила для комплексных чисел описывают вращения в двумерной системе координат. Больше всех проникся этой идеей ирландский математик Уильям Роуэн Гамильтон, но ему не удавалось найти ответ. И вот однажды в 1843 году, когда Гамильтон прогуливался с женой вдоль Королевского канала в Дублине, на него снизошло озарение, которое вылилось в знаменитый математический акт вандализма: Гамильтон нацарапал на стене моста Брумбридж такую формулу: i^>2 = j^>2 = k^>2 = ijk = –1. Сейчас на этом месте установлена памятная табличка.

Гамильтон понял, что невозможно найти математически допустимые правила для координат с тремя числами, но их можно применить для четырех чисел. Он назвал свое открытие «кватернионы». Подобно тому как комплексное число