Красота в квадрате (Беллос) - страница 123

Благодаря таким уравнениям, как уравнение Шредингера, физики теперь используют мнимые числа для описания природы самой материи. В итоге математикам больше не нужно терзаться по поводу того, есть ли у мнимых чисел какой-либо внешний смысл или нет. В наше время говорить, что число 2 + 3i находится на комплексной плоскости, так же естественно, как и то, что число −2 расположено на числовой оси.

Комплексная плоскость позволяет по-новому взглянуть на тождество Эйлера, но для этого я должен познакомить вас с альтернативной системой координат для комплексных чисел. Как мы уже видели, в стандартной системе комплексному числу a + bi соответствует точка на плоскости с координатами (a, b), где a — это расстояние от ноля вдоль горизонтальной оси, а b — расстояние от ноля вверх. Вторая система, в которой используются «полярные» координаты, описывает точку с координатами (a, b) как точку, которая находится под углом θ на расстоянии r от начала координат. Это похоже на то, как в боевике командир подводной лодки объявляет, что вражеский корабль замечен в r милях, азимут θ (разве что за исключением того, что мы измеряем углы в радианах, причем против часовой стрелки начиная с востока, а не по часовой стрелке с севера). На представленном ниже рисунке точка отображает комплексное число a + bi. Я отметил угол θ от горизонтали и расстояние r от начала координат, что образует прямоугольный треугольник с углом θ, гипотенузой r, прилежащей стороной a и противолежащей стороной b.

SOH-CAH-TOA!

Это мнемоническое правило для запоминания тригонометрических функций напоминает нам о том, что синус — это отношение противолежащей стороны к гипотенузе, а косинус — прилежащей стороны к гипотенузе. В данном случае это значит, что

Эти формулы можно записать так:

b = r sin θ; a = r cos θ

Следовательно, наше комплексное число может быть выражено через r и θ:

a + bi = r cos θ + (r sin θ) i

a + bi = r cos θ + ri sin θ

a + bi = r (cos θ + i sin θ)

Но постойте! Мы ведь знаем, что cos θ + i sin θ = e^>iθ. Следовательно, мы можем заменить те члены уравнения, которые стоят в скобках, и получить такую формулу:

a + bi = re^>iθ

Попытайтесь прочувствовать это уравнение. Комплексное число, которое находится на расстоянии r от начала координат, под углом θ радиан по отношению к горизонтальной оси, имеет форму re^>iθ. Немного выше в этой главе я задал вопрос, что значит число е в мнимой степени, но тогда это казалось непонятным. Сейчас мы нашли на него ответ. Когда число е имеет мнимую степень, такой член представляет собой невероятно эффективное обозначение позиции на комплексной плоскости.