Красота в квадрате (Беллос) - страница 127

1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128…

Вместо того чтобы записывать все члены последовательности, я мог бы определить ее как итерацию x → 2x, в которой первый член равен 1:

1 → 2

2 → 4

4 → 8

И так далее.

Итеративность этого процесса обусловлена тем, что результаты каждого действия (в данном случае удвоения) используются в качестве исходных данных для следующего действия. Итерация — это система с обратной связью: число, полученное на выходе, снова подается на вход, обеспечивая получение нового числа, и т. д.

А теперь давайте рассмотрим простую итерацию x → x^>2.

Если мы начнем с 1, то получим следующие значения:

1 → 1^>2 = 1

1 → 1

1 → 1

Другими словами, эта последовательность состоит из бесконечного количества единиц.

Если начнем с 2, последовательность будет такой:

2 → 2^>2 = 4

4 → 16

16 → 256

256 → 65536 → …

Эта последовательность стремится к бесконечности.

Если же последовательность начинается со значения 0,1, тогда мы получим:

0,1 → (0,1)^>2 = 0,01

0,01 → 0,0001

0,0001 → 0,00000001 → …

Эта последовательность стремится к нулю.

Мы можем обобщить поведение всех чисел, принимающих участие в этой итерации. Если положительное число n больше 1, его квадрат n^>2 больше n, а значит, числа, полученные посредством итерации, становятся все больше. Если положительное число n меньше 1, тогда n^>2 составляет долю от n, то есть числа, полученные посредством итерации, все время уменьшаются и стремятся к нулю. Поскольку квадрат отрицательного числа — это положительное число, все числа меньше −1 стремятся к бесконечности, а все отрицательные числа от −1 до 0 — к нулю.

Назовем числа, которые стремятся к бесконечности, словом «беглецы», а числа, которые не делают этого, — словом «узники». В случае итерации x → x^>2 мы видели, что число 2 — это беглец, а числа 1 и 0,1 — узники. В оставшейся части главы мы будем искать узников любой итерации, которых обозначим как «множество узников». В итерации x → x^>2 множество узников — это числа от −1 до 1; на представленном ниже рисунке они отмечены жирной линией.

Множество узников итерации x → x^>2

Рассмотрим новую итерацию x → x^>2 + c, где c — исходное значение итерации. Другими словами, наша система с обратной связью поглощает немного больше информации, чем обычно. Она начинает с числа c, возводит его в квадрат и прибавляет c, возводит результат в квадрат и прибавляет c, возводит результат в квадрат и прибавляет c и т. д. Это небольшое изменение правил влечет за собой серьезные последствия в плане определения того, какие исходные значения относятся к узникам, а какие — к беглецам.

Начнем с числа 1, которое, как мы выдели выше, является узником в итерации