Самая известная теорема Теда Хилла гласит:
Если взять случайные выборки из случайным образом выбранных массивов данных, то чем больше количество массивов и выборок, тем ближе к закону Бенфорда будет распределение первых цифр в смешанной выборке.
Эта теорема позволяет определить, когда может иметь место закон Бенфорда. «Если предположение о том, что несмещенные случайные выборки взяты из случайных распределений верно, тогда эти данные должны полностью подчиняться закону Бенфорда», — утверждает Тед. Этот вывод объясняет, почему газеты так хорошо иллюстрируют действие закона первой цифры. Числа, которые появляются в новостях, — это, по сути, произвольные выборки, взятые из случайных массивов данных, таких как цены акций, температура воздуха, распределение голосов во время выборов или результаты лотереи. Хотя многие из этих массивов данных могут не удовлетворять закону Бенфорда, чем больше массивов мы проанализируем и чем больше выборок включим в анализ, тем ближе к распределению Бенфорда будет смешанная выборка. Если продолжать процесс до бесконечности, смешанные выборки будут подчиняться закону Бенфорда с точностью до 100 процентов.
Я спросил Теда, есть ли у его теоремы простое интуитивное объяснение. В ответ он покачал головой. Тед доказал эту теорему, применив эргодическую теорию — передовую область науки, которая представляет собой сочетание теории вероятности и статистической физики и изучается только в аспирантуре. Несмотря на достаточно понятную формулировку, у теоремы нет простого доказательства. «Во всяком случае, такое доказательство не обнаружено», — поясняет Тед.
Тем не менее работа Теда Хилла дает математическое обоснование для использования закона Бенфорда при рассмотрении судебных дел. Впоследствии к Теду начали обращаться за советом ученые, которые хотели знать, соответствуют ли их данные закону первой цифры. По словам Хилла, самая необычная просьба поступила от одной христианской организации. В ней обнаружили, что процентное содержание различных минералов в морской воде и земной коре подчиняется закону Бенфорда. Это открытие так поразило и удивило ее членов, что, по их словам, это мог быть только продукт разумного замысла. Так не согласится ли Тед выступить в рамках их кампании за преподавание учения о сотворении мира в техасских школах?
Теду нравилось выискивать примеры действия закона Бенфорда в чистой математике.
Последовательность, каждый член которой в два раза больше предыдущего:
1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024…
Последовательность, каждый член которой в три раза больше предыдущего: