1, 3, 9, 27, 81, 243, 729, 2187, 6561, 19 683…
Последовательность, каждый член которой поочередно умножается на два и на три:
1, 2, 6, 12, 36, 72, 216, 432, 1296, 2592, 7776, 15 552…
Все эти последовательности подчиняются закону Бенфорда.
То же самое можно сказать и о последовательности чисел Фибоначчи, в которой каждое следующее число представляет собой сумму двух предыдущих:
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144…
Чем больше членов последовательности вы анализируете, тем ближе распределение первых цифр чисел, входящих в нее, к распределению Бенфорда.
Тед также доказал, что любая последовательность, которая начинается со случайного числа и формируется по принципу «удвоить и прибавить 1», соответствует закону Бенфорда. То же самое касается и любой последовательности, начинающейся с произвольного числа и формирующейся по принципу «возвести в квадрат». Но, когда Тед приступил к анализу последовательности чисел, построенной по принципу «возвести в квадрат и прибавить 1», он обнаружил нечто неожиданное.
«С какого бы числа ни начиналась такая последовательность, она почти всегда подчиняется закону Бенфорда. Однако при некоторых исходных числах этого не происходит, причем найти эти числа довольно трудно. Сперва мне казалось, что их нет. Я думал: “Этого не может быть! Это просто невозможно!” Но мы все же нашли одно число, обладающее поразительным свойством: когда оно является первым членом последовательности, в которой каждый следующий член на единицу больше квадрата предыдущего, то каждое число такой последовательности начинается с цифры 9. Это просто невероятно. Это сбой в системе».
Вот это число: 9,94962308959395941218332124109326…
На самом деле для последовательности чисел, сформированной по принципу «возвести в квадрат и прибавить 1», существует бесконечное множество таких исходных чисел, но они размещены на цифровой оси настолько редко, что вероятность выбрать какое-то из них случайным образом равна нулю. По словам Теда, у закона Бенфорда масса секретов, которые еще предстоит открыть.
Закон Бенфорда — один из самых ярких примеров того, как процесс, в котором фигурирует большое количество неизвестных случайных факторов, может образовать очень простую числовую закономерность. Точная последовательность событий, приводящих к росту или падению курса акций или увеличению численности населения города, может оказаться слишком сложной для понимания, но результат этих событий хорошо упорядочен и довольно прост. Не исключено, что у нас не получится составить прогноз в отношении курса конкретных акций или численности населения определенного города, но мы можем быть уверены в одном: в целом эти показатели всегда подчиняются закону Бенфорда.