Когда прямые искривляются. Неевклидовы геометрии (Гомес) - страница 29
* * *
Такая гиперболическая модель была предложена Альбертом Эйнштейном при определении пространства-времени. Вселенная Эйнштейна четырехмерная, так как она содержит три пространственных координаты и четвертую координату — время (позже мы расскажем об этом подробнее). Человек не может воспринимать четырехмерную вселенную, поэтому трудно перенести модель с предметами на кровати (это лишь трехмерные объекты) в четырехмерное пространство. Однако мы можем представить, что произойдет. Как и в других областях математики, людям приходится полагаться на воображение и ум.
В 1870 г. немецкий математик Феликс Клейн (1849–1925) представил еще одну модель гиперболической геометрии на плоскости, а затем обобщил ее для пространства. В своей модели Клейн рассмотрел обычный евклидов круг и предложил новые определения точки, прямой, параллельной линии и так далее. Он назвал внутренность круга плоскостью, точки определил как обычные точки внутри круга, за исключением лежащих на окружности, и прямыми линиями назвал хорды круга, но не включающие концов, то есть без точек на окружности. (Напомним, что хордой круга называется отрезок, концы которого лежат на окружности.) Кроме того, параллельными прямыми он называл хорды с одним общим концом. Пересекающимися линиями назывались те, что пересекаются внутри круга, а если линии пересекаются вне круга, то они назывались непересекающимися.
В этой модели, то есть когда плоскостью является только внутренность круга, а хорды являются прямыми линиями, мы видим, что прямые r, s и l проходят через точку вне прямой l и не пересекаются с прямой l в неевклидовом смысле, так как они не пересекаются с прямой l внутри круга. Таким образом, в этой модели через точку вне прямой можно провести бесконечное число линий, не пересекающихся с данной прямой.
Клейн показал, что геометрия в его круге эквивалентна гиперболической геометрии, то есть его геометрия удовлетворяет всем аксиомам Евклида, кроме пятого постулата, и сохраняет все результаты гиперболической геометрии.
* * *
ПРЕДЕЛ — КРУГ IV
Этот рисунок Маурица Корнелиса Эшера (1898–1972) имеет альтернативное название «Ад и рай». На нем ангелы и демоны изображены в виде мозаики, так что пространство между фигурами одного вида образует фигуры другого вида. Еще один замечательный факт: фигуры становятся все меньше и меньше по мере приближения к краю круга, как будто уходят в бесконечность. Эшер создал этот рисунок, чтобы изобразить поверхность, невозможную в двух измерениях. Свойства этого пространства знакомят нас с неевклидовой гиперболической геометрией.