Развитие неевклидовой геометрии открыло научному сообществу широкие возможности и поставило серьезную задачу: как узнать, является ли наше физическое пространство евклидовым? А если нет, то что может служить правильной геометрической моделью? Мы также не должны исключать возможность того, что пространство неоднородно, то есть существуют места с различной геометрической структурой: евклидовой, гиперболической или эллиптической. Но чтобы ответить на этот вопрос, нам нужны экспериментальные доказательства аксиомы Евклида или ее альтернатив.
Правильная геометрия
Из общей теории относительности следует интересный вывод: три геометрии — евклидова, гиперболическая и эллиптическая — совершенно равноправны. Теория относительности не исключает ни одну из этих возможностей. Все геометрии эквивалентны на относительно небольших расстояниях. Однако в случае астрономических расстояний или в таких областях современной физики, как теория относительности или распространение волн, неевклидовы геометрии дают более точное описание наблюдаемых явлений. Можно сказать, что в реальном мире работают все геометрии, но каждая из них имеет свою область применения. В разных исследованиях используются различные геометрии, более подходящие для конкретной области знаний. Ни одна из них не может претендовать на универсальность.
Когда мы путешествуем по поверхности сферы или выполняем на ней какие-то измерения, мы находимся во Вселенной, в которой работает эллиптическая геометрия. Если мы будем двигаться со скоростью, близкой к скорости света, нам придется воспользоваться геометрией Минковского в пространстве-времени. Однако все говорит о том, что человеческие существа живут в гиперболическом мире. Гипотеза Брентано, названная в честь немецкого психолога Франца Брентано (1838–1917), утверждает, что люди склонны преувеличивать малые углы и приуменьшать большие. Эта гипотеза была доказана эмпирическим путем. Также большинство оптических иллюзий и классических экспериментов по восприятию показывают, что люди воспринимают пространство как гиперболическое.
До XIX в. вопрос о «правильной» геометрии прозвучал бы совершенно абсурдно, даже непонятно. Результаты открытия неевклидовой геометрии и теории относительности настолько впечатляют, что не возникает никаких сомнений в том, что новые геометрии являются основой важнейших научных теорий последних лет, которые в буквальном смысле изменили место человека во Вселенной. Новые геометрии применяются и в астрономических масштабах теории относительности, и в мини-мирах атомных ядер.