Когда прямые искривляются. Неевклидовы геометрии (Гомес) - страница 4
Мы могли бы попробовать различные другие маршруты, чтобы найти наименьшее расстояние. Вариантов множество. Мы можем двигаться по вертикали и по горизонтали, поворачивая на первую улицу, а затем на вторую, или сделать поворот через две улицы и так далее. Однако общее расстояние всегда будет 6 единиц.
На следующем рисунке изображены различные маршруты между точками А и В. Всего имеется 15 возможностей.
Выходит, что фактический маршрут вовсе не является прямой линией. Здесь появляется другое понятие расстояния, которое называется расстоянием такси. Это понятие нелинейного расстояния лежит в основе геометрии такси.
* * *
ВОЗМОЖНЫЕ МАРШРУТЫ
Формула, выражающая количество всех возможных маршрутов для n вертикальных и m горизонтальных движений, выглядит следующим образом:
Здесь n! означает факториал числа n, который равен n ·(n-1)·(n-2)·…·2·1. Например, 5! = 5–4 — 3–2 — 1 = 120. В нашем примере формула записывается так:
возможных маршрутов.
* * *
Расстояние, которое изучается в школе, является евклидовым расстоянием. Оно находится по теореме Пифагора, поэтому расстояние между двумя точками Р и Q с координатами Р = (x>1, y>1) и Q = (x>2, у>2) выражается следующей формулой:
В отличие от евклидова расстояния, минимальное расстояние в городе с прямоугольной сеткой улиц считается как d>T(P, Q) = |x>2 — x>1| + |y>2 — y>1|
* * *
АБСОЛЮТНОЕ ЗНАЧЕНИЕ
Выражение |А| означает «абсолютное значение числа А», которое получается путем игнорирования знака числа. Если число А положительно, то |А| = А, а если число А отрицательно, то |А| = — А, например, |-5| = 5.
* * *
Это альтернативное расстояние называется манхэттенским расстоянием, или расстоянием Минковского, в честь немецкого математика Германа Минковского.
На более популярном языке это расстояние называют также расстоянием такси. На рисунке ниже пунктирная линия отмечает евклидово расстояние, а сумма длин вертикальных и горизонтальных отрезков соответствует расстоянию такси.
Если точка С является началом координат, то точка А имеет координаты (2, 1), а точка В — координаты (0, 5). Таким образом, евклидово расстояние составляет 4,47 единиц, а расстояние такси — 6 единиц. Обратите внимание, что положение начала координат не влияет на результат при расчете расстояний.
В математике метрикой или расстоянием между двумя точками А и В называется такое соотношение, которое удовлетворяет условиям положительности, симметрии и неравенства треугольника. А именно,
1) δ(A, В) >= 0, и из δ(A, В) = 0 следует, что А = В;
2) δ(A, В) = δ(В, A);
3) δ(А, В) =<