Когда прямые искривляются. Неевклидовы геометрии (Гомес) - страница 41
Работая над своими сложными математическими теориями, Бойяи и Лобачевский вывели тригонометрические выражения для гиперболической геометрии. Удивительным является тот факт, что, как и все остальное, они сделали это независимо друг от друга. Это свидетельствует об их гениальности, но также показывает, что результаты, которые они получили, действительно являются правильными.
Соотношения, выведенные Бойяи и Лобачевским, в малых областях могут быть сведены к формулам классической тригонометрии, но в других случаях они характеризуют новые, совершенно неисследованные миры.
Для переменной х гиперболический синус и гиперболический косинус определяются следующим образом:
Аналогично элементарной тригонометрии, гиперболический тангенс определяется следующей формулой:
th x = shx/chx
Здесь мы вкратце напомним так называемую теорему синусов.
В треугольнике со сторонами а, b и с и с углами А, В и С
справедливо следующее соотношение:
a/sin A = b/sin В = c/sinС
Аналогичное соотношение можно сформулировать в гиперболической тригонометрии:
sin A/sha = sin B/shb = sin С/shc
Чтобы проверить гиперболические равенства, нужно подставить вместо гиперболических функций их определения:
и затем, выполнив соответствующие расчеты, убедиться, что получится один и тот же ответ.
Используя определения гиперболических синуса и косинуса, можно вывести и другие тригонометрические тождества, аналогичные известным тождествам из евклидовой геометрии. Например, мы можем проверить, что
ch(x + у) = chx·chy + shx·shy
аналогично традиционному выражению
cos(x + у) = cosx·cosy + sinx·siny
* * *
ОСНОВНОЕ ТОЖДЕСТВО ГИПЕРБОЛИЧЕСКОЙ ТРИГОНОМЕТРИИ
В евклидовой тригонометрии есть важное соотношение, называемое основным тригонометрическим тождеством, которое утверждает, что sin2x + cos2x = 1. Аналогом в гиперболической тригонометрии является следующее тождество:
ВОПРОС ТЕРМИНОЛОГИИ
В евклидовой терминологии синус и косинус называются круговыми функциями, поскольку они получаются из свойств круга. Рассмотрим окружность радиуса 1 с центром в начале системы координат. Уравнение этой окружности записывается как х>2 + у>2 = 1. В этом простом уравнении мы можем сделать замену переменной, выразив переменные х и у через параметр t следующим образом: х = cost и у = sint. Здесь х и у удовлетворяют соотношению х>2 + у>2 = 1. Такое уравнение называется параметрическим уравнением окружности.
Если вместо круга мы возьмем гиперболу, график функции х>2 — у>2 = 1, то х = ch t и у = sh t удовлетворяют соотношению х>2 — у>2 = 1. Это уравнение называется «уравнением гиперболы».